5 skyrius · Tema 1
Funkcijos apibrėžtis ir sritys
Funkcijos sąvoka, apibrėžimo sritis D(f) ir reikšmių sritis E(f).
1
Funkcijos sąvokaApibrėžimas
Funkcija — tai taisyklė, pagal kurią kiekvienam argumento reikšmei x iš aibės D atitinka lygiai viena reikšmė y iš aibės E.
Vienai x — viena y
Vienai x — dvi y
Formulė
y = f(x)
Žymime
x — argumentas (nepriklausomasis kintamasis)
y arba f(x) — funkcijos reikšmė taške x
D — apibrėžimo sritis | E — reikšmių sritis
y arba f(x) — funkcijos reikšmė taške x
D — apibrėžimo sritis | E — reikšmių sritis
Svarbu
Kiekvienam x atitinka tik viena reikšmė y.
Vertikaliosios tiesės testas — jei vertikali tiesė kerta grafiką daugiau nei vieną kartą, tai nėra funkcija.
Vertikaliosios tiesės testas — jei vertikali tiesė kerta grafiką daugiau nei vieną kartą, tai nėra funkcija.
Pavyzdys
f(x) = 3x − 2
f(0) = 3·0 − 2 = −2
f(1) = 3·1 − 2 = 1
f(3) = 3·3 − 2 = 7
f(0) = 3·0 − 2 = −2
f(1) = 3·1 − 2 = 1
f(3) = 3·3 − 2 = 7
2
Apibrėžimo sritis D(f)Apibrėžimas
Apibrėžimo sritis D(f) — visų leistinų argumento x reikšmių aibė. Tai x ašies reikšmės, kurioms funkcija egzistuoja. Grafike — projekcija į horizontalią ašį.
Žymime
D(f) arba Df
Taisyklė — kaip rasti D(f)
• √ šaknis — pošakninis reiškinys turi būti ≥ 0
• Trupmena — vardiklis negali būti lygus 0
• Logaritmas — argumentas turi būti > 0
• Visi kiti atvejai — D(f) = ℝ (visi realieji skaičiai)
• Trupmena — vardiklis negali būti lygus 0
• Logaritmas — argumentas turi būti > 0
• Visi kiti atvejai — D(f) = ℝ (visi realieji skaičiai)
D(f) — x reikšmės, kurios „įeina" į funkciją
Pavyzdys — šaknis
f(x) = √(x − 2)
Sąlyga: x − 2 ≥ 0 → x ≥ 2
D(f) = [2 ; +∞)
Sąlyga: x − 2 ≥ 0 → x ≥ 2
D(f) = [2 ; +∞)
Grafikas prasideda x = 2
Pavyzdys — trupmena
f(x) = 1 / (x − 3)
Sąlyga: x − 3 ≠ 0 → x ≠ 3
D(f) = (−∞ ; 3) ∪ (3 ; +∞)
Sąlyga: x − 3 ≠ 0 → x ≠ 3
D(f) = (−∞ ; 3) ∪ (3 ; +∞)
x = 3 neįeina — tuščias taškas
Pavyzdys — skaitymas iš grafiko
Grafikas prasideda taške x = −2 (● užpildytas — įeina) ir baigiasi x = 4 (○ tuščias — neįeina).
D(f) = [−2 ; 4)
D(f) = [−2 ; 4)
● įeina | ○ neįeina
3
Reikšmių sritis E(f)Apibrėžimas
Reikšmių sritis E(f) — visų galimų funkcijos reikšmių y aibė. Tai y ašies reikšmės, kurias funkcija gali įgyti. Grafike — projekcija į vertikalią ašį.
Žymime
E(f) arba Ef
Taisyklė — kaip rasti E(f)
Grafike žiūrime kaip funkcija išsidėsto vertikaliai:
• Žemiausias grafiko taškas → mažiausia y reikšmė
• Aukščiausias grafiko taškas → didžiausia y reikšmė
• Jei grafikas tęsiasi be ribos — E(f) neribota
• Žemiausias grafiko taškas → mažiausia y reikšmė
• Aukščiausias grafiko taškas → didžiausia y reikšmė
• Jei grafikas tęsiasi be ribos — E(f) neribota
E(f) — y reikšmės, kurios „išeina" iš funkcijos
Pavyzdys — D(f) ir E(f) iš grafiko
Grafikas nupieštas nuo x = −1 (●) iki x = 2 (○).
Žemiausia y reikšmė: −2 (●), aukščiausia: 2 (●).
D(f) = [−1 ; 2) E(f) = [−2 ; 2]
Žemiausia y reikšmė: −2 (●), aukščiausia: 2 (●).
D(f) = [−1 ; 2) E(f) = [−2 ; 2]
Mėlyna — D(f) ant x ašies · Žalia — E(f) ant y ašies