5 skyrius · Tema 2
Funkcijos savybės
Funkcijos nuliai, pastovaus ženklo intervalai, lyginumas, didžiausia ir mažiausia reikšmė, tolydumas.
1
Funkcijos nuliaiApibrėžimas
Funkcijos nuliai — tai argumento reikšmės x, kuriose funkcijos reikšmė lygi nuliui: f(x) = 0.
Grafike tai taškai, kuriuose kreivė kerta arba liečia x ašį.
Grafike tai taškai, kuriuose kreivė kerta arba liečia x ašį.
Nuliai x₁, x₂, x₃ — kur grafikas kerta x ašį
Taisyklė
Norint rasti funkcijos nulius — reikia išspręsti lygtį f(x) = 0.
Sprendiniai yra funkcijos nuliai.
Sprendiniai yra funkcijos nuliai.
Pavyzdys
f(x) = x² − 4
Sprendžiame: x² − 4 = 0 → x² = 4 → x = ±2
Funkcijos nuliai: x = −2 ir x = 2
Sprendžiame: x² − 4 = 0 → x² = 4 → x = ±2
Funkcijos nuliai: x = −2 ir x = 2
2
Pastovaus ženklo intervalaiApibrėžimas
Teigiamo ženklo intervalai — x reikšmės, kuriose f(x) > 0 (grafikas aukščiau x ašies).
Neigiamo ženklo intervalai — x reikšmės, kuriose f(x) < 0 (grafikas žemiau x ašies).
Neigiamo ženklo intervalai — x reikšmės, kuriose f(x) < 0 (grafikas žemiau x ašies).
Žalia (+) — grafikas virš x ašies · Raudona (−) — žemiau
Taisyklė
1. Randame funkcijos nulius (f(x) = 0)
2. Nuliai skaičių tiesę dalija į intervalus
3. Kiekviename intervale tikriname funkcijos ženklą (pasirenkame bet kurį tašką)
4. Intervalai tarp nulių keičia ženklą
2. Nuliai skaičių tiesę dalija į intervalus
3. Kiekviename intervale tikriname funkcijos ženklą (pasirenkame bet kurį tašką)
4. Intervalai tarp nulių keičia ženklą
Pavyzdys
f(x) = x² − 4 = (x−2)(x+2)
Nuliai: x = −2 ir x = 2
Intervalas (−∞; −2): f(−3) = 9 − 4 = 5 > 0 +
Intervalas (−2; 2): f(0) = 0 − 4 = −4 < 0 −
Intervalas (2; +∞): f(3) = 9 − 4 = 5 > 0 +
f(x) > 0, kai x ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞)
f(x) < 0, kai x ∈ (−2; 2)
Nuliai: x = −2 ir x = 2
Intervalas (−∞; −2): f(−3) = 9 − 4 = 5 > 0 +
Intervalas (−2; 2): f(0) = 0 − 4 = −4 < 0 −
Intervalas (2; +∞): f(3) = 9 − 4 = 5 > 0 +
f(x) > 0, kai x ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞)
f(x) < 0, kai x ∈ (−2; 2)
y = x² − 4 · ženklas keičiasi nuliuose
3
Lyginė ir nelyginė funkcijaApibrėžimas — lyginė
Funkcija vadinama lygine, jei kiekvienam x iš apibrėžimo srities:
f(−x) = f(x)
Grafikas simetriškas y ašies atžvilgiu.
f(−x) = f(x)
Grafikas simetriškas y ašies atžvilgiu.
Lyginė — simetriška y ašiai
Apibrėžimas — nelyginė
Funkcija vadinama nelygine, jei kiekvienam x iš apibrėžimo srities:
f(−x) = −f(x)
Grafikas simetriškas koordinačių pradžios taško O atžvilgiu.
f(−x) = −f(x)
Grafikas simetriškas koordinačių pradžios taško O atžvilgiu.
Nelyginė — simetriška taško O atžvilgiu
Formulė
Lyginė: f(−x) = f(x) Nelyginė: f(−x) = −f(x)
Taisyklė — kaip patikrinti
1. Apskaičiuojame f(−x)
2. Jei f(−x) = f(x) → lyginė
3. Jei f(−x) = −f(x) → nelyginė
4. Jei nei viena — nei lyginė, nei nelyginė
2. Jei f(−x) = f(x) → lyginė
3. Jei f(−x) = −f(x) → nelyginė
4. Jei nei viena — nei lyginė, nei nelyginė
Pavyzdys
f(x) = x⁴ − 2x²
f(−x) = (−x)⁴ − 2(−x)² = x⁴ − 2x² = f(x)
→ Lyginė funkcija
g(x) = x³ + x
g(−x) = (−x)³ + (−x) = −x³ − x = −(x³ + x) = −g(x)
→ Nelyginė funkcija
f(−x) = (−x)⁴ − 2(−x)² = x⁴ − 2x² = f(x)
→ Lyginė funkcija
g(x) = x³ + x
g(−x) = (−x)³ + (−x) = −x³ − x = −(x³ + x) = −g(x)
→ Nelyginė funkcija
4
Didžiausia ir mažiausia reikšmėApibrėžimas
Didžiausia reikšmė (max) — didžiausia y reikšmė, kurią funkcija pasiekia tam tikrame intervale. Grafike — aukščiausias taškas.
Mažiausia reikšmė (min) — mažiausia y reikšmė, kurią funkcija pasiekia tam tikrame intervale. Grafike — žemiausias taškas.
Mažiausia reikšmė (min) — mažiausia y reikšmė, kurią funkcija pasiekia tam tikrame intervale. Grafike — žemiausias taškas.
● žalia — max | ● raudona — min
Žymime
max f(x) arba maxx∈[a;b] f(x) = M — didžiausia reikšmė
min f(x) arba minx∈[a;b] f(x) = m — mažiausia reikšmė
min f(x) arba minx∈[a;b] f(x) = m — mažiausia reikšmė
Svarbu
Didžiausia ir mažiausia reikšmė gali neegzistuoti, jei funkcija neribota intervale.
Ieškoma tik uždarame intervale [a; b] — tada ji visada egzistuoja.
Ieškoma tik uždarame intervale [a; b] — tada ji visada egzistuoja.
Pavyzdys
f(x) = −x² + 4, kai x ∈ [−1; 2]
f(−1) = −1 + 4 = 3
f(0) = 0 + 4 = 4 → aukščiausias taškas
f(2) = −4 + 4 = 0 → žemiausias taškas
max = 4 (taške x = 0)
min = 0 (taške x = 2)
f(−1) = −1 + 4 = 3
f(0) = 0 + 4 = 4 → aukščiausias taškas
f(2) = −4 + 4 = 0 → žemiausias taškas
max = 4 (taške x = 0)
min = 0 (taške x = 2)
f(x) = −x² + 4 intervale [−1; 2]
● žalia — max · ● raudona — min
● žalia — max · ● raudona — min
5
TolydumasApibrėžimas
Funkcija vadinama tolydia taške x₀, jei jos grafikas tame taške neturi šuolio — galima nupiešti nekeliant pieštuko nuo popieriaus.
Funkcija vadinama trūkia taške x₀, jei grafike tame taške yra šuolis arba skylė.
Funkcija vadinama trūkia taške x₀, jei grafike tame taške yra šuolis arba skylė.
Tolydi — be šuolių · Trūki — šuolis arba skylė grafike
Svarbu
Visos polinominės funkcijos (y = xⁿ, y = ax² + bx + c ir kt.) yra tolydžios visur.
Trupmeninės funkcijos yra trūkios ten, kur vardiklis = 0.
Šakninės funkcijos yra tolydžios savo apibrėžimo srityje.
Trupmeninės funkcijos yra trūkios ten, kur vardiklis = 0.
Šakninės funkcijos yra tolydžios savo apibrėžimo srityje.
Pavyzdys
f(x) = 1/(x − 2) — trūki taške x = 2 (vardiklis = 0)
g(x) = x² − 3x + 1 — tolydi visur (polinominė)
h(x) = √x — tolydi savo apibrėžimo srityje [0; +∞)
g(x) = x² − 3x + 1 — tolydi visur (polinominė)
h(x) = √x — tolydi savo apibrėžimo srityje [0; +∞)