5 skyrius · Tema 11
Logaritminės lygtys
Lygtys su logaritmais — sprendimo būdai ir metodai.
1
Logaritminės lygties apibrėžimasApibrėžimas
Logaritminė lygtis — lygtis, kurios nežinomasis yra logaritmo pagrinde arba logarituojamajame reiškinyje.
Paprasčiausia forma: logₐx = b
Sprendinys: x = aᵇ (reikia patikrinti, kad x > 0)
Paprasčiausia forma: logₐx = b
Sprendinys: x = aᵇ (reikia patikrinti, kad x > 0)
Formulė — logₐf(x) = logₐg(x)
logₐf(x) = logₐg(x) ⟺ f(x) = g(x), kai f(x) > 0
Pavyzdys
log₂x = 5
x = 2⁵ = 32
log₃x = −2
x = 3⁻² = 1/9 = 1/9
x = 2⁵ = 32
log₃x = −2
x = 3⁻² = 1/9 = 1/9
2
Sprendimas vienodinant logaritmų pagrindusBūdo esmė
Lygtį logₐf(x) = c keičiame lygtimi f(x) = aᶜ. Abu lygčių pagrindai turi būti vienodi. Tada sulyginame logarituojamuosius reiškinius.
Svarbu — patikrinimas
Visada patikrinkite, ar gautas sprendinys patenka į pradinės lygties apibrėžimo sritį:
• f(x) > 0 — logarituojamas reiškinys teigiamas
• g(x) > 0, g(x) ≠ 1 — jei pagrindas su nežinomuoju
• f(x) > 0 — logarituojamas reiškinys teigiamas
• g(x) > 0, g(x) ≠ 1 — jei pagrindas su nežinomuoju
Pavyzdys
log₅(x² − 10x + 1) = 2
x² − 10x + 1 = 5² = 25
x² − 10x − 24 = 0
x₁ = 12, x₂ = −2
Patikrinimas: kai x=12: 144−120+1 = 25 > 0 ✓
kai x=−2: 4+20+1 = 25 > 0 ✓
Atsakymas: −2; 12
x² − 10x + 1 = 5² = 25
x² − 10x − 24 = 0
x₁ = 12, x₂ = −2
Patikrinimas: kai x=12: 144−120+1 = 25 > 0 ✓
kai x=−2: 4+20+1 = 25 > 0 ✓
Atsakymas: −2; 12
Pavyzdys — lg(2x−2) = lg(4x+10)
Sulyginame: 2x − 2 = 4x + 10
−2x = 12
x = −6
Patikrinimas: lg(2·(−6)−2) = lg(−14) — neegzistuoja!
Atsakymas: sprendinių nėra
−2x = 12
x = −6
Patikrinimas: lg(2·(−6)−2) = lg(−14) — neegzistuoja!
Atsakymas: sprendinių nėra
3
Nežinomojo keitimo būdasBūdo esmė
Logaritminį reiškinį pažymime nauju nežinomuoju t = logₐx, gauname tiesinę arba kvadratinę lygtį ir išsprendžiame ją.
Žingsniai
1
Suvienodiname logaritmų pagrindus, pasirenkame keitinį t = logₐx
2
Išsprendžiame gautą kvadratinę lygtį t atžvilgiu
3
Grįžtame prie x: iš t = logₐx randame x = aᵗ
4
Patikriname sprendinius pradinėje lygtyje
Pavyzdys
2log²₃x + 5log₃x − 3 = 0
Keitinys t = log₃x:
2t² + 5t − 3 = 0
t₁ = 1/2, t₂ = −3
• log₃x = 1/2 → x = 3^(1/2) = √3
• log₃x = −3 → x = 3⁻³ = 1/27
Atsakymas: √3; 1/27
Keitinys t = log₃x:
2t² + 5t − 3 = 0
t₁ = 1/2, t₂ = −3
• log₃x = 1/2 → x = 3^(1/2) = √3
• log₃x = −3 → x = 3⁻³ = 1/27
Atsakymas: √3; 1/27
4
Logaritmavimo būdasBūdo esmė
Kai lygtyje nežinomasis yra laipsnio rodiklyje, abi lygties puses logaritmuojame tinkamu pagrindu. Taikome logaritmų savybę ⑤: logₐxᵏ = k·logₐx.
Pavyzdys
x^(lg x + 1) = 100
Logaritmuojame pagrindu 10:
(lg x + 1) · lg x = lg 100 = 2
lg²x + lg x − 2 = 0
Keitinys t = lg x:
t² + t − 2 = 0
t₁ = 1, t₂ = −2
• lg x = 1 → x = 10
• lg x = −2 → x = 0,01
Atsakymas: 0,01; 10
Logaritmuojame pagrindu 10:
(lg x + 1) · lg x = lg 100 = 2
lg²x + lg x − 2 = 0
Keitinys t = lg x:
t² + t − 2 = 0
t₁ = 1, t₂ = −2
• lg x = 1 → x = 10
• lg x = −2 → x = 0,01
Atsakymas: 0,01; 10