5 skyrius · Tema 10
Logaritminė funkcija
Logaritmo apibrėžimas, savybės ir funkcija f(x) = logₐx.
1
Logaritmo apibrėžimasApibrėžimas
Logaritmu pagrindu a skaičiaus b (žymimas logₐb) vadinamas laipsnio rodiklis, kuriuo reikia pakelti skaičių a, kad gautume skaičių b:
Jei aˣ = b, tai x = logₐb
Logaritmas egzistuoja tik kai a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Jei aˣ = b, tai x = logₐb
Logaritmas egzistuoja tik kai a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Pagrindinė logaritmų tapatybė
a^(logₐb) = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Žymime
log₁₀b = lg b — dešimtainis logaritmas
logₑb = ln b — natūralusis logaritmas (e ≈ 2,718)
logₑb = ln b — natūralusis logaritmas (e ≈ 2,718)
Pavyzdžiai
log₃81 = 4, nes 3⁴ = 81
log₂(1/8) = −3, nes 2⁻³ = 1/8
log₅√5 = 1/2, nes 5^(1/2) = √5
lg 1000 = 3, nes 10³ = 1000
log₂(1/8) = −3, nes 2⁻³ = 1/8
log₅√5 = 1/2, nes 5^(1/2) = √5
lg 1000 = 3, nes 10³ = 1000
2
Logaritmų savybėsSvarbu — 6 pagrindinės savybės
① logₐ1 = 0nes a⁰ = 1
② logₐa = 1nes a¹ = a
③ logₐ(x·y) = logₐx + logₐylogaritmas iš sandaugos
④ logₐ(x/y) = logₐx − logₐylogaritmas iš dalybos
⑤ logₐxᵏ = k·logₐxlogaritmas iš laipsnio
⑥ logₐb = logcb / logcapagrindo keitimo formulė
Pavyzdžiai
3^(log₃5) = 5 (pagrindinė tapatybė)
log₅(5·7) = log₅5 + log₅7 = 1 + log₅7 (③)
log₂(15) − log₂3 = log₂(15/3) = log₂5 (④)
log₃27 = log₃3³ = 3·log₃3 = 3 (⑤)
log₄9 = log₂9 / log₂4 = 2log₂3 / 2 = log₂3 (⑥)
log₅(5·7) = log₅5 + log₅7 = 1 + log₅7 (③)
log₂(15) − log₂3 = log₂(15/3) = log₂5 (④)
log₃27 = log₃3³ = 3·log₃3 = 3 (⑤)
log₄9 = log₂9 / log₂4 = 2log₂3 / 2 = log₂3 (⑥)
3
Logaritminė funkcija f(x) = logₐxSavybės
• D(f) = (0; +∞), E(f) = (−∞; +∞) = ℝ
• Grafikas kerta x ašį taške (1; 0), nes logₐ1 = 0
• Grafikas eina per tašką (a; 1), nes logₐa = 1
• Nėra nulių x ašiuje, išskyrus x = 1
• Kai a > 1 — didėjanti
• Kai 0 < a < 1 — mažėjanti
• Nei lyginė, nei nelyginė
• Grafikas kerta x ašį taške (1; 0), nes logₐ1 = 0
• Grafikas eina per tašką (a; 1), nes logₐa = 1
• Nėra nulių x ašiuje, išskyrus x = 1
• Kai a > 1 — didėjanti
• Kai 0 < a < 1 — mažėjanti
• Nei lyginė, nei nelyginė
Abu grafikai kerta x ašį taške (1;0)
Mėlyna — a>1 · Raudona — 0<a<1
Mėlyna — a>1 · Raudona — 0<a<1
Taisyklė — pastovaus ženklo intervalai
Kai a > 1: f(x) > 0 kai x > 1; f(x) < 0 kai 0 < x < 1
Kai 0 < a < 1: f(x) > 0 kai 0 < x < 1; f(x) < 0 kai x > 1
Kai 0 < a < 1: f(x) > 0 kai 0 < x < 1; f(x) < 0 kai x > 1
4
Logaritminės funkcijos apibrėžimo sritisSvarbu — 6 apibrėžimo srities taisyklė
Jei reiškinys yra su logaritmu logₐb, tai turi būti:
• b > 0 — logarituojamas reiškinys teigiamas
• a > 0 — pagrindas teigiamas (kai pagrindas su nežinomuoju)
• b ≠ 1 — pagrindas nelygus 1
• b > 0 — logarituojamas reiškinys teigiamas
• a > 0 — pagrindas teigiamas (kai pagrindas su nežinomuoju)
• b ≠ 1 — pagrindas nelygus 1
Pavyzdys
f(x) = log₂,₁(x² + x − 2)
Sąlyga: x² + x − 2 > 0
(x + 2)(x − 1) > 0
D(f) = (−∞; −2) ∪ (1; +∞)
Sąlyga: x² + x − 2 > 0
(x + 2)(x − 1) > 0
D(f) = (−∞; −2) ∪ (1; +∞)
Pavyzdys — pagrindas su nežinomuoju
f(x) = log₍₃ₓ₋₂₎(3 + 2x − x²)
Sąlygų sistema:
• 3 + 2x − x² > 0 → (x+1)(x−3) < 0 → x ∈ (−1; 3)
• 3x − 2 > 0 → x > 2/3
• 3x − 2 ≠ 1 → x ≠ 1
D(f) = (2/3; 1) ∪ (1; 3)
Sąlygų sistema:
• 3 + 2x − x² > 0 → (x+1)(x−3) < 0 → x ∈ (−1; 3)
• 3x − 2 > 0 → x > 2/3
• 3x − 2 ≠ 1 → x ≠ 1
D(f) = (2/3; 1) ∪ (1; 3)