4 skyrius · Tema 1
Trupmeninės ir aukštesniojo laipsnio lygtys
Trupmeninės lygtys sprendžiamos jas paverčiant į A(x)/B(x) = 0 pavidalą, o aukštesniojo laipsnio lygtys — skaidant daugikliais arba keičiant nežinomąjį.
1
Trupmeninės lygtysBūdo esmė
Pradinę lygtį pertvarkome taip, kad ji įgytų pavidalą:
A(x) / B(x) = 0
Tada sprendžiame sistemą: A(x) = 0 ir B(x) ≠ 0.
5 žingsnių algoritmas
- Visus lygties narius perkeliame į kairiąją pusę, dešiniojoje lieka nulis.
- Jei įmanoma, trupmenų vardiklius išskaidome daugikliais.
- Randame trupmenų mažiausiąjį bendrąjį vardiklį, trupmenas subendravardikliname ir atliekame su jomis veiksmus.
- Suprastiname gautos trupmenos skaitiklį — atskliaučiame, sutraukiame panašiuosius narius. Vardiklio neatskliaudžiame.
- Gauname A(x)/B(x) = 0 pavidalo trupmeną, sprendžiame sistemą: A(x) = 0 ir B(x) ≠ 0.
Pavyzdys 1 — paprastas
Išspręskime lygtį (36 − x²) / (x + 6) = 0.
Lygtis jau reikiamo pavidalo. Sudarome sistemą: 36 − x² = 0 → (6 − x)(6 + x) = 0 → x = 6 arba x = −6 x + 6 ≠ 0 → x ≠ −6 Sprendinys x = −6 netinka (nulina vardiklį). Atsakymas: 6.
Lygtis jau reikiamo pavidalo. Sudarome sistemą: 36 − x² = 0 → (6 − x)(6 + x) = 0 → x = 6 arba x = −6 x + 6 ≠ 0 → x ≠ −6 Sprendinys x = −6 netinka (nulina vardiklį). Atsakymas: 6.
Pavyzdys 2 — su dviem trupmenomis
Išspręskime lygtį: 3x/(2x − 1) − x/(2x + 1) = 0.
Visi nariai kairiojoje pusėje. Mažiausiasis bendrasis vardiklis — abiejų vardiklių sandauga (2x−1)(2x+1): [3x(2x+1) − x(2x−1)] / [(2x−1)(2x+1)] = 0 [6x² + 3x − 2x² + x] / [(2x−1)(2x+1)] = 0 [4x² + 4x] / [(2x−1)(2x+1)] = 0 4x(x + 1) / [(2x−1)(2x+1)] = 0 Sprendžiame sistemą: 4x(x+1) = 0 → x = 0 arba x = −1.
Tikriname: (2·0−1) ≠ 0 ✓, (2·(−1)−1) ≠ 0 ✓. Atsakymas: −1; 0.
Visi nariai kairiojoje pusėje. Mažiausiasis bendrasis vardiklis — abiejų vardiklių sandauga (2x−1)(2x+1): [3x(2x+1) − x(2x−1)] / [(2x−1)(2x+1)] = 0 [6x² + 3x − 2x² + x] / [(2x−1)(2x+1)] = 0 [4x² + 4x] / [(2x−1)(2x+1)] = 0 4x(x + 1) / [(2x−1)(2x+1)] = 0 Sprendžiame sistemą: 4x(x+1) = 0 → x = 0 arba x = −1.
Tikriname: (2·0−1) ≠ 0 ✓, (2·(−1)−1) ≠ 0 ✓. Atsakymas: −1; 0.
2
Aukštesniojo laipsnio lygtys — axⁿ = bSprendimo atvejai
Lygtis axⁿ = b pertvarkome į xⁿ = b/a, tada:
| Atvejis | Sprendiniai | Pavyzdys |
|---|---|---|
| n nelyginis | x = ⁿ√(b/a) — visada vienas sprendinys | x³ = −8 → x = −2 |
| n lyginis, b/a < 0 | Sprendinių nėra ℝ | x⁴ = −1 → ∅ |
| n lyginis, b/a ≥ 0 | x = ±ⁿ√(b/a) | x⁴ = 16 → x = ±2 |
Pavyzdys
a) 3x⁵ = −96: x⁵ = −32, x = ⁵√(−32) = −2
b) 2x⁶ = 128: x⁶ = 64, |x| = ⁶√64 = 2, x = ±2
c) x⁴ + 1 = 0: x⁴ = −1 — neigiama, lyginis laipsnis → sprendinių nėra
b) 2x⁶ = 128: x⁶ = 64, |x| = ⁶√64 = 2, x = ±2
c) x⁴ + 1 = 0: x⁴ = −1 — neigiama, lyginis laipsnis → sprendinių nėra
3
Skaidymo daugikliais būdasBūdo esmė
Pradinę lygtį pertvarkome į A(x)·B(x) = 0 pavidalą, paskui sprendžiame lygtis A(x) = 0 ir B(x) = 0. Pradinės lygties sprendinys — rastų sprendinių sąjunga.
Žingsniai:
Žingsniai:
- Visus lygties narius keliame į kairiąją pusę, dešiniojoje lieka nulis.
- Kairę pusę išskaidome daugikliais (kelimas prieš skliaustus, grupavimas, greitosios daugybos formulės).
- Kiekvieną daugiklį prilyginame nuliui.
- Išsprendžiame kiekvieną gautą lygtį.
Pavyzdys 1 — kelimas prieš skliaustus
Išspręskime lygtį x³ − 4x = 0.
x(x² − 4) = 0 x(x − 2)(x + 2) = 0 x = 0 arba x − 2 = 0 arba x + 2 = 0
Atsakymas: −2; 0; 2.
x(x² − 4) = 0 x(x − 2)(x + 2) = 0 x = 0 arba x − 2 = 0 arba x + 2 = 0
Atsakymas: −2; 0; 2.
Pavyzdys 2 — grupavimas
Išspręskime lygtį x³ − 5x² + 4x − 20 = 0.
Grupuojame narius poromis: (x³ − 5x²) + (4x − 20) = 0 x²(x − 5) + 4(x − 5) = 0 (x − 5)(x² + 4) = 0 x − 5 = 0 → x = 5; x² + 4 = 0 → sprendinių nėra.
Atsakymas: 5.
Grupuojame narius poromis: (x³ − 5x²) + (4x − 20) = 0 x²(x − 5) + 4(x − 5) = 0 (x − 5)(x² + 4) = 0 x − 5 = 0 → x = 5; x² + 4 = 0 → sprendinių nėra.
Atsakymas: 5.
Pavyzdys 3 — kubų formulė
Išspręskime lygtį x³ − 6x² + 11x − 6 = 0.
Grupuojame ir taikome kubų skirtumo formulę: (x³ − 1) − (6x² − 11x + 6 − 1) ... grupuojame kitaip: (x³ − 6) + (−6x² + 11x) = 0 Bandome grupavimą: (x³ − x²) + (−5x² + 5x) + (6x − 6) = 0: x²(x − 1) − 5x(x − 1) + 6(x − 1) = 0 (x − 1)(x² − 5x + 6) = 0 (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0 Atsakymas: 1; 2; 3.
Grupuojame ir taikome kubų skirtumo formulę: (x³ − 1) − (6x² − 11x + 6 − 1) ... grupuojame kitaip: (x³ − 6) + (−6x² + 11x) = 0 Bandome grupavimą: (x³ − x²) + (−5x² + 5x) + (6x − 6) = 0: x²(x − 1) − 5x(x − 1) + 6(x − 1) = 0 (x − 1)(x² − 5x + 6) = 0 (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0 Atsakymas: 1; 2; 3.
4
Nežinomojo keitimo būdasBūdo esmė
Lygtyje pastebime keletą vienodų reiškinių ir juos pažymime pasirinkta raide — keitiniu. Gauname paprastesnę (dažniausiai kvadratinę) lygtį.
Žingsniai:
Žingsniai:
- Pastebime pasikartojantį reiškinį ir jį pažymime, pvz., t = x².
- Išsprendžiame gautą lygtį (dažniausiai kvadratinę).
- Apskaičiuotus t reikšmes įrašome į keitinio lygtį ir randame x.
Pavyzdys 1 — bikvadratingė lygtis
Išspręskime lygtį x⁴ − 13x² + 36 = 0.
Pažymime t = x² (t ≥ 0): t² − 13t + 36 = 0 D = 169 − 144 = 25; t₁ = 4, t₂ = 9.
Grįžtame prie x: x² = 4 → x = ±2; x² = 9 → x = ±3.
Atsakymas: −3; −2; 2; 3.
Pažymime t = x² (t ≥ 0): t² − 13t + 36 = 0 D = 169 − 144 = 25; t₁ = 4, t₂ = 9.
Grįžtame prie x: x² = 4 → x = ±2; x² = 9 → x = ±3.
Atsakymas: −3; −2; 2; 3.
Pavyzdys 2 — sudėtingesnis keitinys
Išspręskime lygtį (x² − 2x)² − 3(x² − 2x) − 4 = 0.
Pastebime pasikartojantį reiškinį. Pažymime y = x² − 2x: y² − 3y − 4 = 0 y₁ = −1, y₂ = 4.
x² − 2x = −1 → x² − 2x + 1 = 0 → (x − 1)² = 0 → x = 1.
x² − 2x = 4 → x² − 2x − 4 = 0 → x = 1 ± √5.
Atsakymas: 1; 1 − √5; 1 + √5.
Pastebime pasikartojantį reiškinį. Pažymime y = x² − 2x: y² − 3y − 4 = 0 y₁ = −1, y₂ = 4.
x² − 2x = −1 → x² − 2x + 1 = 0 → (x − 1)² = 0 → x = 1.
x² − 2x = 4 → x² − 2x − 4 = 0 → x = 1 ± √5.
Atsakymas: 1; 1 − √5; 1 + √5.
Svarbu — bikvadratingėms
Kai lygtyje yra keitinys t = x², reikia atsiminti, kad t ≥ 0. Jei gauname neigiamą t reikšmę — ji netinka, x reikšmių ji neduoda.