4 skyrius · Tema 2
Iracionaliosios lygtys ir lygtys su moduliais
Iracionaliosios lygtys sprendžiamos keliant abi puses laipsniu, o po to tikrinant pašalinius sprendinius. Lygtys su moduliais sprendžiamos analizuojant du atvejus pagal modulio apibrėžimą.
1
Iracionaliosios lygtysBūdo esmė
Abi lygties puses keliame tuo pačiu laipsniu, koks yra šaknies laipsnis — gauname paprastesnę lygtį. Tačiau kai lygties abi puses keliame lyginiu laipsniu, gauti sprendiniai būtina patikrinti — įrašyti į pradinę lygtį ir atmesti pašalinius.
Algoritmas
- Pradinę lygtį pertvarkome taip, kad vienoje pusėje būtų šaknis, kitoje — visi kiti nariai.
- Abi lygties puses keliame tokiu laipsniu, koks yra šaknies laipsnis.
- Sprendžiame gautą lygtį.
- Jei kėlėme lyginiu laipsniu — sprendinius būtina patikrinti pradinėje lygtyje ir atmesti pašalinius.
Pašaliniai sprendiniai
Pašaliniai sprendiniai atsiranda todėl, kad a² = b² gali būti teisinga ir kai a = b, ir kai a = −b.
Jei lygtį kėlėme lyginiu laipsniu → sprendiniai būtina patikrinti.
Jei kėlėme nelyginiu laipsniu → tikrinti nebūtina, tačiau pravartu.
Jei lygtį kėlėme lyginiu laipsniu → sprendiniai būtina patikrinti.
Jei kėlėme nelyginiu laipsniu → tikrinti nebūtina, tačiau pravartu.
Pavyzdys 1 — kvadratinė šaknis
Išspręskime lygtį √(3x − 2) = x − 2.
Keliame abi puses kvadratu: 3x − 2 = (x − 2)² 3x − 2 = x² − 4x + 4 x² − 7x + 6 = 0 → x₁ = 1, x₂ = 6 Tikriname pradinėje lygtyje:
x = 1: √(3−2) = 1 ≠ 1−2 = −1 ❌ (pašalinis)
x = 6: √(16) = 4 = 6−2 ✓
Atsakymas: 6.
Keliame abi puses kvadratu: 3x − 2 = (x − 2)² 3x − 2 = x² − 4x + 4 x² − 7x + 6 = 0 → x₁ = 1, x₂ = 6 Tikriname pradinėje lygtyje:
x = 1: √(3−2) = 1 ≠ 1−2 = −1 ❌ (pašalinis)
x = 6: √(16) = 4 = 6−2 ✓
Atsakymas: 6.
Pavyzdys 2 — keitinys su šaknimi
Išspręskime lygtį ³√x² − 2·³√x − 8 = 0.
Pastebime, kad ³√x² = (³√x)². Pažymime y = ³√x: y² − 2y − 8 = 0 y₁ = −2, y₂ = 4.
³√x = −2 → x = (−2)³ = −8.
³√x = 4 → x = 4³ = 64.
Atsakymas: −8; 64.
Pastebime, kad ³√x² = (³√x)². Pažymime y = ³√x: y² − 2y − 8 = 0 y₁ = −2, y₂ = 4.
³√x = −2 → x = (−2)³ = −8.
³√x = 4 → x = 4³ = 64.
Atsakymas: −8; 64.
3
Lygtys su moduliais — |f(x)| = g(x)Sprendimo taisyklė
Remdamiesi modulio apibrėžimu, analizuojame du atvejus:
1 atvejis: f(x) ≥ 0, sprendžiame f(x) = g(x) ir patikriname, ar tinka nelygybei.
2 atvejis: f(x) < 0, sprendžiame −f(x) = g(x) ir patikriname, ar tinka nelygybei.
Pradinės lygties sprendiniai — abiejų atvejų sprendinių sąjunga.
1 atvejis: f(x) ≥ 0, sprendžiame f(x) = g(x) ir patikriname, ar tinka nelygybei.
2 atvejis: f(x) < 0, sprendžiame −f(x) = g(x) ir patikriname, ar tinka nelygybei.
Pradinės lygties sprendiniai — abiejų atvejų sprendinių sąjunga.
Pavyzdys
Išspręskime lygtį |5x − 10| = 2x + 4.
1 atvejis: 5x − 10 ≥ 0, t.y. x ≥ 2: 5x − 10 = 2x + 4 → 3x = 14 → x = 14/3 ≈ 4,67 Tikriname: 14/3 ≥ 2 ✓. Sprendinys tinka.
2 atvejis: 5x − 10 < 0, t.y. x < 2: −(5x − 10) = 2x + 4 → −5x + 10 = 2x + 4 → −7x = −6 → x = 6/7 Tikriname: 6/7 < 2 ✓. Sprendinys tinka.
Atsakymas: 6/7; 14/3.
1 atvejis: 5x − 10 ≥ 0, t.y. x ≥ 2: 5x − 10 = 2x + 4 → 3x = 14 → x = 14/3 ≈ 4,67 Tikriname: 14/3 ≥ 2 ✓. Sprendinys tinka.
2 atvejis: 5x − 10 < 0, t.y. x < 2: −(5x − 10) = 2x + 4 → −5x + 10 = 2x + 4 → −7x = −6 → x = 6/7 Tikriname: 6/7 < 2 ✓. Sprendinys tinka.
Atsakymas: 6/7; 14/3.
Svarbu
Kiekvieno atvejo sprendinį būtina patikrinti — ar jis tenkina to atvejo sąlygą (nelygybę). Jei netenkina — sprendinys atmestinas.