4 skyrius · Tema 3
Vjeto formulės ir uždavinių sprendimas sudarant lygtis
Vjeto formulės leidžia greitai rasti kvadratinės lygties sprendinius arba sudaryti lygtį pagal žinomus sprendinius. Daugelį tekstinių uždavinių galima išspręsti sudarant lygtį.
1
Vjeto teoremaVjeto teorema
Tarkime, kad redukuotos kvadratinės lygties x² + px + q = 0 sprendiniai yra x₁ ir x₂. Tada:
x₁ + x₂ = −p
x₁ · x₂ = q
Čia p ir q — lygties koeficientai.
Redukuota lygtis
Kvadratinė lygtis, kurios koeficientas prie x² lygus 1, vadinama redukuotąja.
Lygtį ax² + bx + c = 0 galima redukuoti dalijant visus narius iš a:
x² + (b/a)x + (c/a) = 0 Tada p = b/a, q = c/a, ir Vjeto formulė taikoma.
Lygtį ax² + bx + c = 0 galima redukuoti dalijant visus narius iš a:
x² + (b/a)x + (c/a) = 0 Tada p = b/a, q = c/a, ir Vjeto formulė taikoma.
Pavyzdys 1 — sprendinių radimas
Raskime lygties x² − 7x + 12 = 0 sprendinius naudodami Vjeto formules.
p = −7, q = 12. Ieškom dviejų skaičių, kurių suma 7, o sandauga 12: x₁ + x₂ = 7 ir x₁ · x₂ = 12 Spėjame: 3 + 4 = 7 ir 3 · 4 = 12 ✓
Atsakymas: 3; 4.
p = −7, q = 12. Ieškom dviejų skaičių, kurių suma 7, o sandauga 12: x₁ + x₂ = 7 ir x₁ · x₂ = 12 Spėjame: 3 + 4 = 7 ir 3 · 4 = 12 ✓
Atsakymas: 3; 4.
Pavyzdys 2 — lygties sudarymas
Parašykime kvadratinę lygtį, kurios sprendiniai yra 3 − √5 ir 3 + √5.
Randame p ir q: x₁ + x₂ = (3 − √5) + (3 + √5) = 6 → p = −6 x₁ · x₂ = (3 − √5)(3 + √5) = 9 − 5 = 4 → q = 4 Atsakymas: x² − 6x + 4 = 0.
Randame p ir q: x₁ + x₂ = (3 − √5) + (3 + √5) = 6 → p = −6 x₁ · x₂ = (3 − √5)(3 + √5) = 9 − 5 = 4 → q = 4 Atsakymas: x² − 6x + 4 = 0.
2
Atvirkštinė Vjeto teoremaAtvirkštinė teorema
Jei skaičių x₁ ir x₂ suma lygi −p, o sandauga lygi q, tai šie skaičiai yra lygties x² + px + q = 0 sprendiniai.
Tai leidžia greitai patikrinti, ar spėtieji skaičiai yra lygties sprendiniai, nesprendžiant pačios lygties.
Tai leidžia greitai patikrinti, ar spėtieji skaičiai yra lygties sprendiniai, nesprendžiant pačios lygties.
Pavyzdys — antrojo sprendinio ir koeficiento radimas
Lygties x² + px − 20 = 0 vienas sprendinys yra x₁ = −4. Raskime x₂ ir p.
Iš Vjeto formulės: x₁ · x₂ = −20: −4 · x₂ = −20 → x₂ = 5 Iš Vjeto formulės: x₁ + x₂ = −p: −4 + 5 = 1 = −p → p = −1 Atsakymas: x₂ = 5; p = −1.
Iš Vjeto formulės: x₁ · x₂ = −20: −4 · x₂ = −20 → x₂ = 5 Iš Vjeto formulės: x₁ + x₂ = −p: −4 + 5 = 1 = −p → p = −1 Atsakymas: x₂ = 5; p = −1.
3
Uždavinių sprendimas sudarant lygtisAlgoritmas
- Paskiriame nežinomąjį — parenkame kintamąjį x ir apibrėžiame, ką jis reiškia.
- Visus kitus uždavinio dydžius išreiškiame per x.
- Sudarome lygtį remdamiesi uždavinio sąlyga.
- Išsprendžiame lygtį.
- Patikriname, ar gautas atsakymas tinkamas pagal uždavinio sąlygą (pvz., ilgis negali būti neigiamas).
- Parašome atsakymą.
Pavyzdys 1 — geometrinis uždavinys
Stačiakampio plotas 60 cm², o perimetras 34 cm. Raskite jo kraštines.
Tarkime, viena kraštinė x. Tada kita kraštinė: 17 − x (nes pusė perimetro = 17).
Sudarome lygtį pagal plotą: x(17 − x) = 60 x² − 17x + 60 = 0 Pagal Vjeto formules: x₁ + x₂ = 17, x₁ · x₂ = 60 → x₁ = 5, x₂ = 12.
Atsakymas: 5 cm ir 12 cm.
Tarkime, viena kraštinė x. Tada kita kraštinė: 17 − x (nes pusė perimetro = 17).
Sudarome lygtį pagal plotą: x(17 − x) = 60 x² − 17x + 60 = 0 Pagal Vjeto formules: x₁ + x₂ = 17, x₁ · x₂ = 60 → x₁ = 5, x₂ = 12.
Atsakymas: 5 cm ir 12 cm.
Pavyzdys 2 — funkcijų grafikų susikirtimas
Keliuose taškuose kertasi funkcijų y = x² − 5x ir y = x − 6 grafikai?
Susikirtimo taškai — bendri taškai, tai sulyginame funkcijų išraiškas: x² − 5x = x − 6 x² − 6x + 6 = 0 D = 36 − 24 = 12 > 0, taigi lygtis turi du sprendinius.
Atsakymas: grafikai kertasi dviejuose taškuose.
Susikirtimo taškai — bendri taškai, tai sulyginame funkcijų išraiškas: x² − 5x = x − 6 x² − 6x + 6 = 0 D = 36 − 24 = 12 > 0, taigi lygtis turi du sprendinius.
Atsakymas: grafikai kertasi dviejuose taškuose.
Pavyzdys 3 — tekstinis uždavinys
Dviejų skaičių suma 14, o jų sandauga 45. Raskite šiuos skaičius.
Tarkime, vienas skaičius x, kitas 14 − x. Sudarome lygtį: x(14 − x) = 45 x² − 14x + 45 = 0 Pagal Vjeto formules: suma 14, sandauga 45 → x₁ = 5, x₂ = 9.
Atsakymas: 5 ir 9.
Tarkime, vienas skaičius x, kitas 14 − x. Sudarome lygtį: x(14 − x) = 45 x² − 14x + 45 = 0 Pagal Vjeto formules: suma 14, sandauga 45 → x₁ = 5, x₂ = 9.
Atsakymas: 5 ir 9.