8 skyrius · Tema 1
Įbrėžtiniai kampai, stygos ir liestinės
Įbrėžtinio kampo teorema, stygų ir liestinių savybės — pagrindiniai įrankiai sprendžiant apskritimo geometrijos užduavinius.
1
Įbrėžtinio kampo teoremaApibrėžimas
Įbrėžtinis kampas — kampas, kurio viršūnė yra ant apskritimo, o kraštinės yra apskritimo stygos.
Centrinis kampas — kampas, kurio viršūnė yra apskritimo centre.
Centrinis kampas — kampas, kurio viršūnė yra apskritimo centre.
Teorema
Įbrėžtinio kampo didumas lygus pusei lanko, į kurį remiasi šis kampas:
∠ACB = ½ · ∪AB
Kitaip tariant: Įbrėžtinis kampas yra du kartus mažesnis už centrinį kampą, kuris remiasi į tą patį linką.
∠ACB = ½ · ∪AB
Kitaip tariant: Įbrėžtinis kampas yra du kartus mažesnis už centrinį kampą, kuris remiasi į tą patį linką.
1 savybė
Įbrėžtiniai kampai, kurie remiasi į pusapskritimį, yra statūs (= 90°).
Pusapskritimio lanko didumas yra 180°, todėl įbrėžtinis kampas = ½ · 180° = 90°.
Pusapskritimio lanko didumas yra 180°, todėl įbrėžtinis kampas = ½ · 180° = 90°.
2 savybė
Įbrėžtiniai kampai, kurie remiasi į tą patį linką, yra lygūs.
∠C ir ∠D remiasi į linką AB. Tada ∠C = ½·∪AB ir ∠D = ½·∪AB, todėl ∠C = ∠D.
∠C ir ∠D remiasi į linką AB. Tada ∠C = ½·∪AB ir ∠D = ½·∪AB, todėl ∠C = ∠D.
Pavyzdys
Į apskritimą, kurio centras O, įbrėžto kampo ABC didumas lygus 42°. Apskaičiuokite:
a) centrinio kampo AOC; b) įbrėžtinio kampo ADC.
a) ∪AC = 2 · ∠ABC = 2 · 42° = 84°.
b) ∠ADC remiasi į tą patį linką AC, todėl ∠ADC = ∠ABC = 42°.
a) centrinio kampo AOC; b) įbrėžtinio kampo ADC.
a) ∪AC = 2 · ∠ABC = 2 · 42° = 84°.
b) ∠ADC remiasi į tą patį linką AC, todėl ∠ADC = ∠ABC = 42°.
2
Stygų savybės1 savybė
Apskritimo skersmuo, statmenas stygai, dalija ją į dvi lygias dalis.
Jei CD ⊥ AB, tai AE = EB.
Ir atvirkščiai: jei skersmuo dalija stygą per pusę, jis yra statmenas jai.
Jei CD ⊥ AB, tai AE = EB.
Ir atvirkščiai: jei skersmuo dalija stygą per pusę, jis yra statmenas jai.
2 savybė
Jei dvi apskritimo stygos susikerta, tai vienos stygos atkarpų ilgių sandauga lygi kitos stygos atkarpų ilgių sandaugai.
Jei stygos AC ir DB kertasi taške E:
AE · EC = DE · EB
Jei stygos AC ir DB kertasi taške E:
AE · EC = DE · EB
Pavyzdys
Apskritimo skersmuo AB yra statmenas stygai CD ir kerta ją taške E. AE = 18, EB = 8. Apskaičiuokite CD ilgį.
AB ⊥ CD, todėl CE = ED = x (1 savybė).
x · x = 18 · 8 = 144 (2 savybė)
x = 12, todėl CD = 2x = 24.
AB ⊥ CD, todėl CE = ED = x (1 savybė).
x · x = 18 · 8 = 144 (2 savybė)
x = 12, todėl CD = 2x = 24.
3
Liestinių savybės1 savybė
Apskritimo liestinė yra statmena spinduliui, nubrėžtam į lietimosi tašką.
Jei AB yra liestinė, liečianti apskritimą taške A:
AB ⊥ OA
Jei AB yra liestinė, liečianti apskritimą taške A:
AB ⊥ OA
2 savybė
Apskritimo lietinių, nubrėžtų iš to paties išorinio taško, atkarpos iki lietimosi taškų yra lygios.
Jei iš taško A nubrėžtos dvi liestinės, liečiančios apskritimą taškuose B ir C:
AB = AC
Jei iš taško A nubrėžtos dvi liestinės, liečiančios apskritimą taškuose B ir C:
AB = AC
Pavyzdys
Į apskritimą, kurio centras O, įbrėžto kampo ADC didumas lygus 50°. Apskaičiuokite apibrėžtinio kampo ABC didumą.
∪AC = 2 · ∠ADC = 100° (įbrėžtinio kampo teorema).
∠AOC = ∪AC = 100° (centrinio kampo savybė).
∠OAB = ∠OCB = 90° (liestinių 1 savybė).
∠ABC = 360° − 100° − 90° − 90° = 80°.
∪AC = 2 · ∠ADC = 100° (įbrėžtinio kampo teorema).
∠AOC = ∪AC = 100° (centrinio kampo savybė).
∠OAB = ∠OCB = 90° (liestinių 1 savybė).
∠ABC = 360° − 100° − 90° − 90° = 80°.