3 skyrius · Tema 1
Aibės ir jų veiksmai
Aibė — viena iš pagrindinių matematikos sąvokų. Šioje temoje sužinosime, kas yra aibė, kokios būna skaičių aibės, kas yra intervalas ir kaip atliekamos operacijos su aibėmis.
1
Aibės sąvokaApibrėžimas
Aibė — tam tikrų objektų rinkinys. Aibę sudarantys objektai vadinami aibės elementais.
Aibės žymimos didžiosiomis raidėmis: A, B, C ir t. t.
Elementai žymimi mažosiomis raidėmis: a, b, c ir t. t.
Aibės žymimos didžiosiomis raidėmis: A, B, C ir t. t.
Elementai žymimi mažosiomis raidėmis: a, b, c ir t. t.
Žymėjimas
a ∈ A — skaičius a priklauso aibei A
a ∉ A — skaičius a nepriklauso aibei A
∅ — tuščioji aibė (neturi nė vieno elemento)
Aibę galima užrašyti išvardijant elementus: A = {1, 2, 3, 5} arba aprašant taisyklę: A = {2n | n ∈ ℕ} — lyginiųjų skaičių aibė
a ∉ A — skaičius a nepriklauso aibei A
∅ — tuščioji aibė (neturi nė vieno elemento)
Aibę galima užrašyti išvardijant elementus: A = {1, 2, 3, 5} arba aprašant taisyklę: A = {2n | n ∈ ℕ} — lyginiųjų skaičių aibė
Aibių rūšys
• Baigtinė aibė — turi baigtinį skaičių elementų. Pvz.: {1, 3, 5, 7}
• Begalinė aibė — elementų yra be galo daug. Pvz.: natūraliųjų skaičių aibė
• Tuščioji aibė ∅ — neturi nė vieno elemento
• Begalinė aibė — elementų yra be galo daug. Pvz.: natūraliųjų skaičių aibė
• Tuščioji aibė ∅ — neturi nė vieno elemento
Pavyzdys
Užrašykime dviženklių pirminių skaičių, ne didesnių kaip 30, aibę.
Pirminiai skaičiai iki 30: 11, 13, 17, 19, 23, 29.
P = {11, 13, 17, 19, 23, 29} Ši aibė yra baigtinė — ją galime išvardyti.
Pirminiai skaičiai iki 30: 11, 13, 17, 19, 23, 29.
P = {11, 13, 17, 19, 23, 29} Ši aibė yra baigtinė — ją galime išvardyti.
2
Žinomos skaičių aibėsSkaičių aibės
ℕ — natūraliųjų skaičių aibė: {1, 2, 3, 4, …}
ℤ — sveikųjų skaičių aibė: {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}
ℚ — racionaliųjų skaičių aibė: skaičiai, kuriuos galima išreikšti paprastąja trupmena m/n (m ∈ ℤ, n ∈ ℕ). Tai visi baigtinės arba periodinės dešimtainės trupmenos.
𝕀 — iracionaliųjų skaičių aibė: skaičiai, išreiškiami begalinėmis neperiodinėmis dešimtainėmis trupmenomis. Pvz.: √2, √3, π, √17
ℝ — realiuųjų skaičių aibė: visi racionaliojo ir iracionaliojo skaičiai. ℚ ∪ 𝕀 = ℝ
ℤ — sveikųjų skaičių aibė: {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}
ℚ — racionaliųjų skaičių aibė: skaičiai, kuriuos galima išreikšti paprastąja trupmena m/n (m ∈ ℤ, n ∈ ℕ). Tai visi baigtinės arba periodinės dešimtainės trupmenos.
𝕀 — iracionaliųjų skaičių aibė: skaičiai, išreiškiami begalinėmis neperiodinėmis dešimtainėmis trupmenomis. Pvz.: √2, √3, π, √17
ℝ — realiuųjų skaičių aibė: visi racionaliojo ir iracionaliojo skaičiai. ℚ ∪ 𝕀 = ℝ
Svarbu
Aibės yra įdėtinės viena į kitą: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Racionaliųjų ir iracionaliųjų aibės neturi bendrų elementų: ℚ ∩ 𝕀 = ∅
Tačiau kartu jos sudaro realiųjų skaičių aibę: ℚ ∪ 𝕀 = ℝ
Racionaliųjų ir iracionaliųjų aibės neturi bendrų elementų: ℚ ∩ 𝕀 = ∅
Tačiau kartu jos sudaro realiųjų skaičių aibę: ℚ ∪ 𝕀 = ℝ
3
IntervalaiApibrėžimas
Intervalas — aibė, sudaryta iš realiųjų skaičių x, tenkinančių tam tikrą sąlygą. Sakykime, a ∈ ℝ, b ∈ ℝ, a < b.
Intervalų tipai
Uždarasis intervalas [a; b] — a ≤ x ≤ b (galiniai taškai įeina)
Atvirasis intervalas (a; b) — a < x < b (galiniai taškai neįeina)
Pusiau atvirieji:
[a; b) — a ≤ x < b arba (a; b] — a < x ≤ b
Begaliniai:
(a; +∞) — x > a [a; +∞) — x ≥ a
(−∞; b) — x < b (−∞; b] — x ≤ b
Visa realiųjų skaičių aibė ℝ žymima (−∞; +∞).
Atvirasis intervalas (a; b) — a < x < b (galiniai taškai neįeina)
Pusiau atvirieji:
[a; b) — a ≤ x < b arba (a; b] — a < x ≤ b
Begaliniai:
(a; +∞) — x > a [a; +∞) — x ≥ a
(−∞; b) — x < b (−∞; b] — x ≤ b
Visa realiųjų skaičių aibė ℝ žymima (−∞; +∞).
Pavyzdys
Kokio intervalo elementai tenkiną sąlygą −3 ≤ x < 7?
Kairysis galas −3 įeina (≤), dešinysis 7 neįeina (<), todėl tai pusiau atviras intervalas: [−3; 7) Skaičių tiesėje: užpildytas taškas ties −3, tuščias ties 7, tarp jų — linija.
Kairysis galas −3 įeina (≤), dešinysis 7 neįeina (<), todėl tai pusiau atviras intervalas: [−3; 7) Skaičių tiesėje: užpildytas taškas ties −3, tuščias ties 7, tarp jų — linija.
4
Aibių veiksmaiPoaibis
Aibė A yra aibės B poaibis (A ⊂ B), jei visi aibės A elementai priklauso aibei B.
Tuščioji aibė yra bet kurios aibės poaibis. Kiekviena aibė yra savo pačios poaibis.
Tuščioji aibė yra bet kurios aibės poaibis. Kiekviena aibė yra savo pačios poaibis.
Sąjunga ir sankirta
Aibių A ir B sąjunga A ∪ B — aibė, sudaryta iš elementų, priklausančių bent vienai iš aibių A arba B.
A ∪ B = {x | x ∈ A arba x ∈ B}
Aibių A ir B sankirta A ∩ B — aibė, sudaryta iš elementų, priklausančių abiem aibėms A ir B.
A ∩ B = {x | x ∈ A ir x ∈ B}
Skirtumas ir papildinys
Aibių A ir B skirtumas A \ B — aibė, sudaryta iš tų aibės A elementų, kurie nepriklauso aibei B.
A \ B = {x | x ∈ A ir x ∉ B}
Analogiškai B \ A — tie aibės B elementai, kurie nepriklauso A.
Pavyzdys
Duotos aibės A = {1, 3, 5, 7, 9} ir B = {3, 4, 5, 6}. Raskite A ∪ B, A ∩ B, A \ B ir B \ A.
A ∪ B — visi elementai iš abiejų aibių: A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 9} A ∩ B — elementai, esantys abiejose aibėse: A ∩ B = {3, 5} A \ B — A elementai, kurių nėra B: A \ B = {1, 7, 9} B \ A — B elementai, kurių nėra A: B \ A = {4, 6}
A ∪ B — visi elementai iš abiejų aibių: A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 9} A ∩ B — elementai, esantys abiejose aibėse: A ∩ B = {3, 5} A \ B — A elementai, kurių nėra B: A \ B = {1, 7, 9} B \ A — B elementai, kurių nėra A: B \ A = {4, 6}
Pavyzdys su intervalais
Duotos aibės A = [−3,5; 6) ir B = [2¼; 8). Raskite A ∩ B ir A ∪ B.
Pavaizdavę skaičių tiesėje matome, kad intervalai persidengia.
A ∩ B — bendroji dalis (kur abu intervalai sutampa): A ∩ B = [2¼; 6) A ∪ B — visa subrūkšniuota sritis: A ∪ B = [−3,5; 8)
Pavaizdavę skaičių tiesėje matome, kad intervalai persidengia.
A ∩ B — bendroji dalis (kur abu intervalai sutampa): A ∩ B = [2¼; 6) A ∪ B — visa subrūkšniuota sritis: A ∪ B = [−3,5; 8)