3 skyrius · Tema 2
n-tojo laipsnio šaknys
Kvadratinę ir kubinę šaknį jau mokate traukti. Šioje temoje apibendrinsime šią sąvoką — sužinosite, kas yra n-tojo laipsnio šaknis, kokios jos savybės ir kaip šaknį susieti su laipsniu su racionaliuoju rodikliu.
1
n-tojo laipsnio šaknies apibrėžimasApibrėžimas
n-tojo laipsnio šaknimi (n ∈ ℕ, n > 1) iš skaičiaus a vadinamas toks realusis skaičius x, kurio n-tasis laipsnis lygus a:
ⁿ√a = x, kai xⁿ = a Čia n — šaknies rodiklis, a — pošakninis reiškinys (arba pošaknis).
ⁿ√a = x, kai xⁿ = a Čia n — šaknies rodiklis, a — pošakninis reiškinys (arba pošaknis).
Lyginių ir nelyginių šaknų savybės
Kai n — lyginis skaičius:
• ⁿ√a yra apibrėžta tik kai a ≥ 0
• rezultatas visada neneigiamas: ⁿ√a ≥ 0
• lygtis xⁿ = a turi du sprendinius: x = ±ⁿ√a
Kai n — nelyginis skaičius:
• ⁿ√a apibrėžta visiems a ∈ ℝ (ir neigiamam a)
• rezultatas turi tą patį ženklą kaip a
• lygtis xⁿ = a turi vieną sprendinį
• ⁿ√a yra apibrėžta tik kai a ≥ 0
• rezultatas visada neneigiamas: ⁿ√a ≥ 0
• lygtis xⁿ = a turi du sprendinius: x = ±ⁿ√a
Kai n — nelyginis skaičius:
• ⁿ√a apibrėžta visiems a ∈ ℝ (ir neigiamam a)
• rezultatas turi tą patį ženklą kaip a
• lygtis xⁿ = a turi vieną sprendinį
Atkreipk dėmesį
Lyginio laipsnio šaknis ²ⁿ√a yra visada neneigiama.
Todėl: ²ⁿ√a ≥ 0 visada, kai a ≥ 0.
Lyginio laipsnio šaknis ²ⁿ√(aⁿ) yra lygus |a|, o ne a:
²ⁿ√(a²ⁿ) = |a| Pavyzdžiui: √(x²) = |x|, nes jei x = −3, tai √(9) = 3, o ne −3.
Todėl: ²ⁿ√a ≥ 0 visada, kai a ≥ 0.
Lyginio laipsnio šaknis ²ⁿ√(aⁿ) yra lygus |a|, o ne a:
²ⁿ√(a²ⁿ) = |a| Pavyzdžiui: √(x²) = |x|, nes jei x = −3, tai √(9) = 3, o ne −3.
Pavyzdys
Apskaičiuokite: ⁴√625, ³√(−27), √(49), ⁵√(−1).
⁴√625: ieškome x, kad x⁴ = 625. Kadangi 5⁴ = 625, tai ⁴√625 = 5
³√(−27): n = 3 (nelyginis), (−3)³ = −27, tai ³√(−27) = −3
√49: 7² = 49, tai √49 = 7 (ne ±7, nes šaknis neneigiama)
⁵√(−1): (−1)⁵ = −1, tai ⁵√(−1) = −1
⁴√625: ieškome x, kad x⁴ = 625. Kadangi 5⁴ = 625, tai ⁴√625 = 5
³√(−27): n = 3 (nelyginis), (−3)³ = −27, tai ³√(−27) = −3
√49: 7² = 49, tai √49 = 7 (ne ±7, nes šaknis neneigiama)
⁵√(−1): (−1)⁵ = −1, tai ⁵√(−1) = −1
2
Laipsnis su racionaliuoju rodikliuApibrėžimas
Skaičiaus a (a > 0) laipsniu su racionaliuoju rodikliu m/n (m ∈ ℤ, n ∈ ℕ, n > 1) vadinamas skaičius:
am/n = ⁿ√(aᵐ) Laipsnio su racionaliuoju rodikliu pagrindas yra teigiamasis skaičius.
am/n = ⁿ√(aᵐ) Laipsnio su racionaliuoju rodikliu pagrindas yra teigiamasis skaičius.
Ryšys su šaknimis
Specialūs atvejai — kaip šaknys ir laipsniai siejasi:
Šaknis ↔ laipsnis su trupmeniniu rodikliu: ⁿ√a = a1/n Bendruoju atveju: ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ = am/n Neigiamas rodiklis: a−m/n = 1 / am/n
Šaknis ↔ laipsnis su trupmeniniu rodikliu: ⁿ√a = a1/n Bendruoju atveju: ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ = am/n Neigiamas rodiklis: a−m/n = 1 / am/n
Pavyzdys
Užrašykime laipsnius šaknimis ir šaknis laipsniais:
21/3 = ³√2
32/3 = ³√(3²) = ³√9
61,25 = 65/4 = ⁴√(6⁵)
2−1/3 = ³√(2⁻¹) = ³√(1/2)
Atvirkščiai — šaknis į laipsnį:
³√5 = 51/3
⁴√(3³) = 33/4 = 30,75
⁸√(1/a²) = a−2/8 = a−1/4
21/3 = ³√2
32/3 = ³√(3²) = ³√9
61,25 = 65/4 = ⁴√(6⁵)
2−1/3 = ³√(2⁻¹) = ³√(1/2)
Atvirkščiai — šaknis į laipsnį:
³√5 = 51/3
⁴√(3³) = 33/4 = 30,75
⁸√(1/a²) = a−2/8 = a−1/4
Atkreipk dėmesį
Laipsnis su racionaliuoju rodikliu apibrėžtas tik teigiamam pagrindui (a > 0).
Išimtis: kai m/n yra sveikasis skaičius — tuomet galimas ir neigiamas pagrindas.
Pavyzdžiui: (−8)1/3 = ³√(−8) = −2 ✓, nes rodiklis 1/3 — trečiojo laipsnio šaknis (nelyginis).
Tačiau (−4)1/2 = √(−4) — neapibrėžta ℝ, nes lyginio laipsnio šaknis iš neigiamo skaičiaus.
Išimtis: kai m/n yra sveikasis skaičius — tuomet galimas ir neigiamas pagrindas.
Pavyzdžiui: (−8)1/3 = ³√(−8) = −2 ✓, nes rodiklis 1/3 — trečiojo laipsnio šaknis (nelyginis).
Tačiau (−4)1/2 = √(−4) — neapibrėžta ℝ, nes lyginio laipsnio šaknis iš neigiamo skaičiaus.