3 skyrius · Tema 3
Veiksmai su šaknimis ir laipsniais
Veiksmai su kvadratinėmis šaknimis ir laipsniais jau pažįstami. Šioje temoje apibendrinsime šias taisykles n-tojo laipsnio šaknims ir laipsniams su racionaliuoju rodikliu.
1
Veiksmai su kvadratinėmis šaknimisPagrindinės taisyklės
Sudėdami ir atimdami šaknis, vienodiname pošaknius. Skirtingų pošaknių šaknų sudėti negalima — jos lieka atskiri nariai:
√a + √a = 2√a k√a + m√a = (k + m)√a k√a − m√a = (k − m)√a Jei pošakniai skirtingi — pirmiausia išskaidome ir suprastiname, tada sudedam.
√a + √a = 2√a k√a + m√a = (k + m)√a k√a − m√a = (k − m)√a Jei pošakniai skirtingi — pirmiausia išskaidome ir suprastiname, tada sudedam.
Pavyzdys — sudėtis ir atimtis
Atlikime veiksmus: 3√8 + √27 − 2√18 + 2√12
Pošaknius išskaidome daugikliais, kad ištrauktume šaknis: 3√8 = 3√(4·2) = 3·2√2 = 6√2 √27 = √(9·3) = 3√3 2√18 = 2√(9·2) = 2·3√2 = 6√2 2√12 = 2√(4·3) = 2·2√3 = 4√3 Sudedame vienodus šakninius narius: 6√2 − 6√2 + 3√3 + 4√3 = 0 + 7√3 = 7√3
Pošaknius išskaidome daugikliais, kad ištrauktume šaknis: 3√8 = 3√(4·2) = 3·2√2 = 6√2 √27 = √(9·3) = 3√3 2√18 = 2√(9·2) = 2·3√2 = 6√2 2√12 = 2√(4·3) = 2·2√3 = 4√3 Sudedame vienodus šakninius narius: 6√2 − 6√2 + 3√3 + 4√3 = 0 + 7√3 = 7√3
Šaknies traukimas iš kvadrato. Modulis
Kai a > 0: √(a²) = a
Kai a < 0: ištraukę šaknį, turime gauti teigiamąjį skaičių, todėl:
√(a²) = |a| = { a, kai a ≥ 0; −a, kai a < 0 } Kvadratinė šaknis negali būti neigiama, todėl kvadratinės šaknies traukimo rezultatas — neneigiamas skaičius, t. y. kvadratu kelto skaičiaus modulis.
Pavyzdžiui: √(x²) = |x|, √((−3)²) = √9 = 3 = |−3|
Kai a < 0: ištraukę šaknį, turime gauti teigiamąjį skaičių, todėl:
√(a²) = |a| = { a, kai a ≥ 0; −a, kai a < 0 } Kvadratinė šaknis negali būti neigiama, todėl kvadratinės šaknies traukimo rezultatas — neneigiamas skaičius, t. y. kvadratu kelto skaičiaus modulis.
Pavyzdžiui: √(x²) = |x|, √((−3)²) = √9 = 3 = |−3|
2
Veiksmų su n-tojo laipsnio šaknimis taisyklės7 pagrindinės taisyklės
Kai a ≥ 0 ir b ≥ 0, o m, n ir k ∈ ℕ, k > 1:
| № | Taisyklė | Pavyzdys |
|---|---|---|
| 1 | (ⁿ√a)ⁿ = a | (³√5)³ = 5 |
| 2 | ⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√(a·b) | ⁴√3 · ⁴√5 = ⁴√15 |
| 3 | ⁿ√a / ⁿ√b = ⁿ√(a/b) | ⁴√81 / ⁴√625 = ⁴√(81/625) = 3/5 |
| 4 | ⁿ√(ⁿ√a) = ²ⁿ√a | √(√5) = ⁴√5 |
| 5 | (ⁿ√a)ᵏ = ⁿ√(aᵏ) | (⁴√3)² = ⁴√9 |
| 6 | ⁿᵏ√(aⁿ) = ᵏ√a | ⁶√(a²) = ³√a |
| 7 | ⁿ√(aᵐ) = am/n | ³√(a²) = a2/3 |
Pavyzdys — taisyklių taikymas
Palyginkime ⁴√7 ir ³√4.
Norint palyginti šaknis su skirtingais rodikliais, sulyginame rodiklius — randame BDK(4, 3) = 12:
⁴√7 = ¹²√(7³) = ¹²√343 ³√4 = ¹²√(4⁴) = ¹²√256 Kadangi 343 > 256, o šaknies rodiklis tas pats (12):
Atsakymas: ⁴√7 > ³√4
Norint palyginti šaknis su skirtingais rodikliais, sulyginame rodiklius — randame BDK(4, 3) = 12:
⁴√7 = ¹²√(7³) = ¹²√343 ³√4 = ¹²√(4⁴) = ¹²√256 Kadangi 343 > 256, o šaknies rodiklis tas pats (12):
Atsakymas: ⁴√7 > ³√4
Lyginio laipsnio šaknis ir modulis
Traukiant lyginio laipsnio šaknį iš reiškinio, pakeltą lyginiu laipsniu, reikia atsiminti, kad rezultatas visada neneigiamas. Todėl:
²ⁿ√(a²ⁿ) = |a| Pavyzdžiui: ⁴√(1 − √3)²
Kadangi 1 − √3 < 0, tai: = |1 − √3| = −(1 − √3) = √3 − 1
²ⁿ√(a²ⁿ) = |a| Pavyzdžiui: ⁴√(1 − √3)²
Kadangi 1 − √3 < 0, tai: = |1 − √3| = −(1 − √3) = √3 − 1
3
Laipsnio su racionaliuoju rodikliu taisyklėsTaisyklės (a, b > 0; m, n ∈ ℚ)
| № | Taisyklė | Pavyzdys |
|---|---|---|
| 1 | a⁰ = 1 | 1,25⁰ = 1 |
| 2 | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | 1,2−1/2 = √(5/6) |
| 3 | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 21/2 · 21/2 = 2¹ = 2 |
| 4 | aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 321,2 / 32 = 320,2 = ⁵√32 = 2 |
| 5 | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (20,2)⁵ = 2¹ = 2 |
| 6 | (a·b)ⁿ = aⁿ · bⁿ | 2161/3 = 81/3 · 271/3 = 6 |
| 7 | (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ | (81/16)0,25 = 3/2 |
Visos šios taisyklės galioja ir tada, kai laipsnio rodiklis — iracionalusis skaičius.
Pavyzdys
Apskaičiuokime: (2−999 + 2−999) · 21000
= 2 · 2−999 · 21000 = 21 · 2−999+1000 = 2 · 21 = 2² = 4
= 2 · 2−999 · 21000 = 21 · 2−999+1000 = 2 · 21 = 2² = 4
Pavyzdys — taisyklių derinimas
Supaprastinkime: (81/16)0,25
81 = 3⁴, 16 = 2⁴, 0,25 = 1/4 (3⁴/2⁴)1/4 = (3/2)⁴·(1/4) = (3/2)¹ = 3/2
81 = 3⁴, 16 = 2⁴, 0,25 = 1/4 (3⁴/2⁴)1/4 = (3/2)⁴·(1/4) = (3/2)¹ = 3/2