6 skyrius · Tema 1
Aritmetinė progresija
Kas yra aritmetinė progresija, jos formulės ir savybės.
1
ApibrėžimasApibrėžimas
Aritmetinė progresija — skaičių seka, kurioje kiekvienas narys (pradedant antruoju) gaunamas prie ankstesnio nario pridėjus tą patį skaičių d.
Šis pastovus skaičius d vadinamas aritmetinės progresijos skirtumu.
Šis pastovus skaičius d vadinamas aritmetinės progresijos skirtumu.
Svarbu
• Jei d > 0 — progresija didėjanti (skaičiai auga)
• Jei d < 0 — progresija mažėjanti (skaičiai mažėja)
• Jei d = 0 — visi nariai vienodi (pastovi seka)
• Jei d < 0 — progresija mažėjanti (skaičiai mažėja)
• Jei d = 0 — visi nariai vienodi (pastovi seka)
2
Rekurentinė formulėFormulė
aₙ₊₁ = aₙ + d
Kitas narys = dabartinis narys + skirtumas
Pavyzdys
Jei a₁ = 3 ir d = 4, tai:
a₂ = a₁ + 4 = 3 + 4 = 7
a₃ = a₂ + 4 = 7 + 4 = 11
a₄ = a₃ + 4 = 11 + 4 = 15
a₂ = a₁ + 4 = 3 + 4 = 7
a₃ = a₂ + 4 = 7 + 4 = 11
a₄ = a₃ + 4 = 11 + 4 = 15
3
n-tojo nario formulėKam reikalinga
Rekurentinė formulė leidžia rasti tik kitą narį. Bet ką daryti, jei reikia rasti, pavyzdžiui, 100-ąjį narį? Negalime skaičiuoti po vieną iki 100. Naudojame n-tojo nario formulę!
Formulė
aₙ = a₁ + d · (n − 1)
a₁ — pirmasis narys
d — skirtumas
n — nario numeris (kurį narį ieškome)
d — skirtumas
n — nario numeris (kurį narį ieškome)
Pavyzdys
Aritmetinė progresija: −2, 3, 8, 13, ...
a₁ = −2, d = 3 − (−2) = 5
Raskime 100-ąjį narį:
a₁₀₀ = −2 + 5 · (100 − 1) = −2 + 5 · 99 = −2 + 495 = 493
a₁ = −2, d = 3 − (−2) = 5
Raskime 100-ąjį narį:
a₁₀₀ = −2 + 5 · (100 − 1) = −2 + 5 · 99 = −2 + 495 = 493
Pavyzdys — kaip rasti skirtumą d
Skirtumas d = bet kuris narys − prieš jį einantis narys:
d = a₂ − a₁ = a₃ − a₂ = a₄ − a₃ = ...
Pvz.: seka 10, 7, 4, 1, ... → d = 7 − 10 = −3
d = a₂ − a₁ = a₃ − a₂ = a₄ − a₃ = ...
Pvz.: seka 10, 7, 4, 1, ... → d = 7 − 10 = −3
4
Vidurio savybėTaisyklė
Kiekvienas narys (išskyrus pirmąjį ir paskutinį) yra lygus dviejų jo kaimynų aritmetiniam vidurkiui:
aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2
Pavyzdys
Seka: 3, 7, 11, 15, 19, ...
Patikrinimas: a₃ = 11 = (7 + 15) / 2 = 22 / 2 = 11 ✓
Taip pat veikia tolimesniems nariams:
aₙ = (aₙ₋ₖ + aₙ₊ₖ) / 2
Patikrinimas: a₃ = 11 = (7 + 15) / 2 = 22 / 2 = 11 ✓
Taip pat veikia tolimesniems nariams:
aₙ = (aₙ₋ₖ + aₙ₊ₖ) / 2
5
Pirmųjų n narių sumaFormulė — 1 būdas
Naudojame, kai žinome pirmąjį ir paskutinįjį narius.
Sₙ = (a₁ + aₙ) / 2 · n
Formulė — 2 būdas
Naudojame, kai žinome pirmąjį narį ir skirtumą, bet nežinome paskutiniojo.
Sₙ = n / 2 · (2a₁ + (n − 1) · d)
Svarbu — logika
Sumos formulė kyla iš paprastos idėjos: pirmojo ir paskutiniojo nario suma lygi antrojo ir priešpaskutiniojo sumai ir t. t. Todėl suma = vidurkis × narių skaičius.
Pavyzdys
Seka: 1, 4, 7, 10, ... Raskite pirmųjų 20 narių sumą.
a₁ = 1, d = 3, n = 20
a₂₀ = 1 + 3 · 19 = 58
S₂₀ = (1 + 58) / 2 · 20 = 59 / 2 · 20 = 590
a₁ = 1, d = 3, n = 20
a₂₀ = 1 + 3 · 19 = 58
S₂₀ = (1 + 58) / 2 · 20 = 59 / 2 · 20 = 590