6 skyrius · Tema 2
Geometrinė progresija
Kas yra geometrinė progresija, jos formulės, suma ir begalinė suma.
1
ApibrėžimasApibrėžimas
Geometrinė progresija — skaičių seka, kurioje kiekvienas narys (pradedant antruoju) gaunamas ankstesnį narį dauginant iš to paties skaičiaus q.
Šis pastovus skaičius q vadinamas geometrinės progresijos vardikliu.
Šis pastovus skaičius q vadinamas geometrinės progresijos vardikliu.
Svarbu
• Jei q > 1 ir b₁ > 0 — progresija didėjanti
• Jei 0 < q < 1 ir b₁ > 0 — progresija mažėjanti
• Jei q < 0 — narių ženklai kaitaliojasi (+, −, +, −, ...)
• Vardiklis q negali būti lygus 0
• Jei 0 < q < 1 ir b₁ > 0 — progresija mažėjanti
• Jei q < 0 — narių ženklai kaitaliojasi (+, −, +, −, ...)
• Vardiklis q negali būti lygus 0
2
Rekurentinė formulėFormulė
bₙ₊₁ = bₙ · q
Kitas narys = dabartinis narys × vardiklis
Kaip rasti vardiklį q
q = bet kuris narys ÷ prieš jį einantis narys:
q = b₂ ÷ b₁ = b₃ ÷ b₂ = b₄ ÷ b₃ = ...
Pvz.: seka 3, 6, 12, 24, ... → q = 6 ÷ 3 = 2
q = b₂ ÷ b₁ = b₃ ÷ b₂ = b₄ ÷ b₃ = ...
Pvz.: seka 3, 6, 12, 24, ... → q = 6 ÷ 3 = 2
3
n-tojo nario formulėFormulė
bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹
b₁ — pirmasis narys
q — vardiklis
n — nario numeris
n − 1 — kiek kartų dauginame (pirmąjį narį dauginame 0 kartų, antrąjį — 1 kartą ir t.t.)
q — vardiklis
n — nario numeris
n − 1 — kiek kartų dauginame (pirmąjį narį dauginame 0 kartų, antrąjį — 1 kartą ir t.t.)
Pavyzdys
Geometrinė progresija: 3, 6, 12, 24, ... (b₁ = 3, q = 2)
Raskime 10-ąjį narį:
b₁₀ = 3 · 2¹⁰⁻¹ = 3 · 2⁹ = 3 · 512 = 1536
Raskime 10-ąjį narį:
b₁₀ = 3 · 2¹⁰⁻¹ = 3 · 2⁹ = 3 · 512 = 1536
4
Vidurio savybėTaisyklė
Kiekvienas geometrinės progresijos narys (išskyrus kraštiniuosius) yra lygus dviejų jo kaimynų geometriniam vidurkiui:
bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁
Pavyzdys
Seka: 2, 6, 18, 54, ...
Patikrinimas: b₂² = 6² = 36 = 2 · 18 = b₁ · b₃ ✓
Patikrinimas: b₂² = 6² = 36 = 2 · 18 = b₁ · b₃ ✓
5
Pirmųjų n narių sumaFormulė (kai q ≠ 1)
Sₙ = b₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1)
Pavyzdys
Seka: 2, 6, 18, 54, ... (b₁ = 2, q = 3). Raskite pirmųjų 5 narių sumą.
S₅ = 2 · (3⁵ − 1) / (3 − 1) = 2 · (243 − 1) / 2 = 2 · 242 / 2 = 242
S₅ = 2 · (3⁵ − 1) / (3 − 1) = 2 · (243 − 1) / 2 = 2 · 242 / 2 = 242
6
Begalinės geometrinės progresijos sumaSvarbu — kada egzistuoja
Begalinė suma egzistuoja tik tada, kai |q| < 1 (t. y. −1 < q < 1).
Jei |q| ≥ 1 — nariai nesumažėja iki nulio ir suma begalinė.
Jei |q| ≥ 1 — nariai nesumažėja iki nulio ir suma begalinė.
Formulė
S = b₁ / (1 − q), kai |q| < 1
Pavyzdys — periodinė trupmena
Išreikšti 0,2(39) paprastąja trupmena:
0,2(39) = 0,2 + 0,039 + 0,00039 + ...
Geometrinė progresija: b₁ = 0,039, q = 0,01
S = 0,039 / (1 − 0,01) = 0,039 / 0,99 = 39/990 = 13/330
0,2(39) = 0,2 + 13/330 = 66/330 + 13/330 = 79/330
0,2(39) = 0,2 + 0,039 + 0,00039 + ...
Geometrinė progresija: b₁ = 0,039, q = 0,01
S = 0,039 / (1 − 0,01) = 0,039 / 0,99 = 39/990 = 13/330
0,2(39) = 0,2 + 13/330 = 66/330 + 13/330 = 79/330
7
Nykstamoji geometrinė progresijaPavyzdžiai — kaip atpažinti
✅ Nykstamoji: 16, 8, 4, 2, 1, ... → q = ½ → |q| < 1
✅ Nykstamoji: 9, −3, 1, −⅓, ... → q = −⅓ → |q| < 1
❌ Ne nykstamoji: 2, 6, 18, 54, ... → q = 3 → |q| > 1
❌ Ne nykstamoji: 1, −2, 4, −8, ... → q = −2 → |q| > 1
✅ Nykstamoji: 9, −3, 1, −⅓, ... → q = −⅓ → |q| < 1
❌ Ne nykstamoji: 2, 6, 18, 54, ... → q = 3 → |q| > 1
❌ Ne nykstamoji: 1, −2, 4, −8, ... → q = −2 → |q| > 1
Svarbu
Tik nykstamosios geometrinės progresijos begalinė suma yra baigtinis skaičius:
S = b₁ / (1 − q), kai |q| < 1
Jei |q| ≥ 1 — begalinė suma neegzistuoja (nariai neartėja prie nulio).
S = b₁ / (1 − q), kai |q| < 1
Jei |q| ≥ 1 — begalinė suma neegzistuoja (nariai neartėja prie nulio).
Pavyzdys — begalinė suma
Seka: 12, 4, 4/3, 4/9, ... Raskite begalinę sumą.
b₁ = 12, q = 4/12 = 1/3 → |q| < 1, todėl suma egzistuoja
S = 12 / (1 − 1/3) = 12 / (2/3) = 12 · 3/2 = 18
b₁ = 12, q = 4/12 = 1/3 → |q| < 1, todėl suma egzistuoja
S = 12 / (1 − 1/3) = 12 / (2/3) = 12 · 3/2 = 18