6 skyrius · Tema 3
Taikymai
Kaip aritmetinė ir geometrinė progresijos taikomos realiuose uždaviniuose.
1
Aritmetinės progresijos taikymaiKada naudojame AP
Aritmetinę progresiją naudojame, kai kiekvienas žingsnis prideda tą patį kiekį:
• Temperatūra kas valandą pakyla po 3 laipsnius
• Kiekvienais metais medelis paaukštėja tuo pačiu ilgiu
• Judant su pastoviu pagreičiu greitis kas sekundę didėja vienodai
• Temperatūra kas valandą pakyla po 3 laipsnius
• Kiekvienais metais medelis paaukštėja tuo pačiu ilgiu
• Judant su pastoviu pagreičiu greitis kas sekundę didėja vienodai
Sprendimo žingsniai
1
Nustatykite a₁ (pradinė reikšmė) ir d (kiek didėja/mažėja kiekvieną kartą)
2
Pasirinkite formulę: aₙ = a₁ + d(n−1) arba Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n
3
Įrašykite žinomas reikšmes ir išspręskite
Pavyzdys — taupymas
Ugnė pirmą savaitę į taupyklę įdeda 12 €, kiekvieną kitą savaitę — 3 € daugiau. Kiek pinigų ji sutaupys per 8 savaites?
a₁ = 12, d = 3, n = 8
S₈ = (2 · 12 + 3·(8−1)) / 2 · 8
S₈ = (24 + 21) / 2 · 8 = 45/2 · 8 = 180 €
a₁ = 12, d = 3, n = 8
S₈ = (2 · 12 + 3·(8−1)) / 2 · 8
S₈ = (24 + 21) / 2 · 8 = 45/2 · 8 = 180 €
Pavyzdys — trikampio kraštinės
Trikampio kraštinių ilgiai sudaro aritmetinę progresiją. Perimetras lygus 42. Raskite viduriniąją kraštinę.
Pažymime kraštines: a, a+d, a+2d
Perimetras: 3a + 3d = 3(a+d) = 42
a + d = 14
Vidurinė kraštinė = a + d = 14
Pažymime kraštines: a, a+d, a+2d
Perimetras: 3a + 3d = 3(a+d) = 42
a + d = 14
Vidurinė kraštinė = a + d = 14
2
Geometrinės progresijos taikymaiKada naudojame GP
Geometrinę progresiją naudojame, kai kiekvienas žingsnis dauginamas iš to paties skaičiaus:
• Palūkanos banke (pinigai dauginami iš (1 + palūkanų norma))
• Bakterijų dauginimasis (kiekvieną valandą kiekis dvigubėja)
• Radioaktyvus skilimas (kiekis perpus mažėja per tam tikrą laiką)
• Palūkanos banke (pinigai dauginami iš (1 + palūkanų norma))
• Bakterijų dauginimasis (kiekvieną valandą kiekis dvigubėja)
• Radioaktyvus skilimas (kiekis perpus mažėja per tam tikrą laiką)
Pavyzdys — palūkanos
Į banką, mokantį 1% sudėtinių metinių palūkanų, Justė padėjo 10 000 €. Kiek pinigų bus po 3 metų?
b₁ = 10 000, q = 1,01 (1+ 0,01, nes padidėjo vienu procentu), n = 3
b₄ = 10 000 · 1,01³ = 10 000 · 1,030301 ≈ 10 303,01 €
b₁ = 10 000, q = 1,01 (1+ 0,01, nes padidėjo vienu procentu), n = 3
b₄ = 10 000 · 1,01³ = 10 000 · 1,030301 ≈ 10 303,01 €
3
Geometrinės progresijos taikymas — be palūkanųKada naudojame be palūkanų
Geometrinę progresiją galima taikyti ne tik finansuose. Bet kada, kai kiekvienas žingsnis dauginamas iš to paties skaičiaus:
• Bakterijų dauginimasis (kas valandą kiekis dvigubėja)
• Radioaktyvus skilimas (kas N metų kiekis perpus mažėja)
• Popierius lenkiamas per pusę (storis dvigubėja kiekvieną kartą)
• Bakterijų dauginimasis (kas valandą kiekis dvigubėja)
• Radioaktyvus skilimas (kas N metų kiekis perpus mažėja)
• Popierius lenkiamas per pusę (storis dvigubėja kiekvieną kartą)
Pavyzdys — bakterijų dauginimasis
Pradinė bakterijų kolonija — 500. Kas valandą jų kiekis padvigubėja. Kiek bakterijų bus po 6 valandų?
b₁ = 500, q = 2, n = 7 (pradinė + 6 valandos)
b₇ = 500 · 2⁷⁻¹ = 500 · 2⁶ = 500 · 64 = 32 000
b₁ = 500, q = 2, n = 7 (pradinė + 6 valandos)
b₇ = 500 · 2⁷⁻¹ = 500 · 2⁶ = 500 · 64 = 32 000
Pavyzdys — radioaktyvus skilimas
Radioaktyvios medžiagos pradinė masė — 800 g. Kas 10 metų masė perpus sumažėja. Kiek gramų liks po 40 metų?
b₁ = 800, q = ½, n = 5 (pradinė + 4 skilimo periodai)
b₅ = 800 · (½)⁵⁻¹ = 800 · (½)⁴ = 800 · 1/16 = 50 g
b₁ = 800, q = ½, n = 5 (pradinė + 4 skilimo periodai)
b₅ = 800 · (½)⁵⁻¹ = 800 · (½)⁴ = 800 · 1/16 = 50 g