T5. Funkcija tg x ir arctg x

1

Funkcijos f(x) = tg x savybės

Savybės

D(f) = ℝ, išskyrus x = π/2 + πk, k ∈ ℤ
E(f) = ℝ — reikšmių sritis visi realieji
T = π — mažiausias periodas (du kartus trumpesnis!)
Nelyginė funkcija: tg(−x) = −tg x
Nuliai: tg x = 0, kai x = πk, k ∈ ℤ
Vertikalios asimptotės: x = π/2 + πk
Didžiausios ir mažiausios reikšmės nėra

Tangentoidė — periodas π, asimptotės x=π/2+πk

Didėjimo intervalai

Didėja visame apibrėžimo srityje kiekviename periode:
x ∈ (−π/2 + πk; π/2 + πk), k ∈ ℤ

Teigiamas: tg x > 0, kai x ∈ (πk; π/2 + πk), k ∈ ℤ (I ir III ketvirtis)
Neigiamas: tg x < 0, kai x ∈ (−π/2 + πk; πk), k ∈ ℤ (II ir IV ketvirtis)

2

Lygties tg x = a sprendimas

Bendroji sprendinių formulė

Lygtis tg x = a turi sprendinių visiems a ∈ ℝ:

x = arctg a + πk, k ∈ ℤ

Kiekviename periode — tik vienas sprendinys (skirtingai nuo sin ir cos!).

tg x = 0: x = πk
tg x = 1: x = π/4 + πk
tg x = −1: x = −π/4 + πk

tg x = a — vienas sprendinys kiekviename periode

Pavyzdys

tg(x + π/3) = 1
x + π/3 = arctg 1 + πk = π/4 + πk
x = π/4 − π/3 + πk = −π/12 + πk, k ∈ ℤ

tg x = √3
x = arctg(√3) + πk = π/3 + πk, k ∈ ℤ

Sprendinių skaičius intervale [−100π; 200π]:
x = −π/12 + πk, taigi k ∈ [−99 11/12; 200 11/12] → N = 300 sprendiniai

3

Nelygybių tg x ≥ a sprendimas

Taisyklė

tg x ≥ a:
Tangentoidė didėja kiekviename periode, todėl:
x ∈ [arctg a + πk; π/2 + πk), k ∈ ℤ

tg x < a:
x ∈ (−π/2 + πk; arctg a + πk), k ∈ ℤ

Dėmesio: x = π/2 + πk neįeina į sprendinių intervalą (tg neegzistuoja)!

tg x ≥ a — [arctg a; π/2) kiekviename periode

Pavyzdys

√3 · tg x − 1 ≥ 0
tg x ≥ 1/√3 = √3/3
arctg(1/√3) = π/6
x ∈ [π/6 + πk; π/2 + πk), k ∈ ℤ

tg x < −1
arctg(−1) = −π/4
x ∈ (−π/2 + πk; −π/4 + πk), k ∈ ℤ

4

Atvirkštinė funkcija g(x) = arctg x

Apibrėžimas

arctg x — tai skaičius y iš intervalo (−π/2; π/2), kurio tangentas lygus x:

arctg x = y ⟺ tg y = x, y ∈ (−π/2; π/2)

D(g) = ℝ — apibrėžta visur
E(g) = (−π/2; π/2) — atviras intervalas!
Nelyginė funkcija: arctg(−x) = −arctg x
Horizontalios asimptotės: y = ±π/2

arctg x — D=ℝ, E=(−π/2; π/2), asimptotės y=±π/2

Svarbu — palyginimas

arcsin: reikšmių sritis [−π/2; π/2] — uždara
arccos: reikšmių sritis [0; π] — uždara
arctg: reikšmių sritis (−π/2; π/2) — atvira (nepassiekia ±π/2)

arctg(tg x) = x tik kai x ∈ (−π/2; π/2)
tg(arctg x) = x visoms x ∈ ℝ

Pavyzdys

arctg(1): tg(π/4) = 1 ir π/4 ∈ (−π/2; π/2) → arctg(1) = π/4

arctg(−√3): arctg(−√3) = −arctg(√3) = −π/3

Funkcija f(x) = arctg(x² − 1) reikšmių sritis:
x² − 1 ∈ ℝ, taigi argumentas gali būti bet koks realusis → arctg(x² − 1) ∈ (−π/2; π/2)
Bet x² − 1 ≥ −1 (minimumas), tai arctg(−1) = −π/4
E(f) = [−π/4; π/2)

Funkcija f(x) = tg x ir arctg x