T4. Funkcija cos x ir arccos x

1

Funkcijos f(x) = cos x savybės

Savybės

D(f) = ℝ — apibrėžimo sritis
E(f) = [−1; 1] — reikšmių sritis
T = 2π — mažiausias periodas
Lyginė funkcija: cos(−x) = cos x
Nuliai: cos x = 0, kai x = π/2 + πk, k ∈ ℤ
Didžiausia reikšmė 1 — taške x = 2πk
Mažiausia reikšmė −1 — taške x = π + 2πk

Kosinusoidė — tai sinusoidė, pasislinkt π/2 į kairę.

Kosinusoidė — lyginė funkcija, max taške x=0

Didėjimo ir mažėjimo intervalai

Didėja: x ∈ (−π + 2πk; 2πk), k ∈ ℤ (t.y. nuo π iki 0, nuo −π iki 0, ...)
Mažėja: x ∈ (2πk; π + 2πk), k ∈ ℤ
Teigiamas: cos x > 0, kai x ∈ (−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk), k ∈ ℤ
Neigiamas: cos x < 0, kai x ∈ (π/2 + 2πk; 3π/2 + 2πk), k ∈ ℤ

2

Lygties cos x = a sprendimas

Bendroji sprendinių formulė

Kai |a| ≤ 1, lygtis cos x = a turi sprendinių:

x = ±arccos a + 2πk, k ∈ ℤ

Kai |a| > 1 — lygtis neturi realių sprendinių.
Kai a = 1: x = 2πk
Kai a = −1: x = π + 2πk
Kai a = 0: x = π/2 + πk

cos x = a — du simetriški sprendiniai periode

Skirtumas nuo sinuso

Sinusui: x = (−1)ᵏ arcsin a + πk — viena formulė
Kosinusui: x = ±arccos a + 2πk — du sprendiniai su ±

Kosinusas yra lyginė funkcija, todėl sprendiniai visada simetriški ašies Oy atžvilgiu.

Pavyzdys

cos x = √2/2
x = ±arccos(√2/2) + 2πk = ±π/4 + 2πk, k ∈ ℤ

cos(2x) = −1/2
2x = ±arccos(−1/2) + 2πk = ±2π/3 + 2πk
x = ±π/3 + πk, k ∈ ℤ

Kuriuose taškuose cos(x − π/4) = didžiausia reikšmė?
Didžiausia reikšmė 1 — kai x − π/4 = 2πk → x = π/4 + 2πk, k ∈ ℤ

3

Nelygybių cos x ≥ a sprendimas

Taisyklė

cos x ≥ a (kai |a| < 1):
Intervalai, kuriuose kosinusoidė virš tiesės y = a.
Sprendiniai: x ∈ [−arccos a + 2πk; arccos a + 2πk], k ∈ ℤ

cos x ≤ a (kai |a| < 1):
Sprendiniai: x ∈ [arccos a + 2πk; 2π − arccos a + 2πk], k ∈ ℤ

Žalia — cos x ≥ a intervalas

Pavyzdys

cos x ≥ √2/2
arccos(√2/2) = π/4
x ∈ [−π/4 + 2πk; π/4 + 2πk], k ∈ ℤ

cos x < √2/2
x ∈ (π/4 + 2πk; 7π/4 + 2πk), k ∈ ℤ

4

Atvirkštinė funkcija g(x) = arccos x

Apibrėžimas

arccos x — tai skaičius y iš intervalo [0; π], kurio kosinusas lygus x:

arccos x = y ⟺ cos y = x, y ∈ [0; π]

D(g) = [−1; 1]
E(g) = [0; π]
Savybė: arccos(−x) = π − arccos x
Nei lyginė, nei nelyginė

arccos x — mažėjanti D=[−1;1], E=[0;π]

Svarbu — skirtumas nuo arcsin

arcsin: reikšmių sritis [−π/2; π/2] — apima neigiamas reikšmes
arccos: reikšmių sritis [0; π] — tik neneigiamos reikšmės

arccos(−x) = π − arccos x (ne −arccos x kaip arcsin!)
arccos(cos x) = x tik kai x ∈ [0; π]

Pavyzdys

arccos(1/2): cos(π/3) = 1/2, π/3 ∈ [0; π] → arccos(1/2) = π/3

arccos(−√2/2): arccos(−√2/2) = π − arccos(√2/2) = π − π/4 = 3π/4

Funkcija f(x) = 1 − arccos(2−x) apibrėžimo sritis:
−1 ≤ 2−x ≤ 1 → −1 ≤ −x ≤ −1... → 1 ≤ x ≤ 3 → D(f) = [1; 3]

Reikšmių sritis: arccos ∈ [0; π] → −arccos ∈ [−π; 0] → 1−arccos ∈ [1−π; 1] → E(f) = [1−π; 1]

Funkcija f(x) = cos x ir arccos x