9 skyrius · Tema 4
Skaliarinė vektorių sandauga. Statmenumo sąlyga.
Skaliarinė sandauga — operacija su dviem vektoriais, kurios rezultatas yra skaičius. Ji naudojama kampams ir statmenumui nustatyti.
1
Skaliarinė sandaugaApibrėžimas
Skaliarinė dviejų vektorių sandauga — skaičius, lygus jų ilgių ir kampo tarp jų kosinuso sandaugai:
a→ · b→ = |a→| · |b→| · cos φ
Žymima: a→ · b→ arba tiesiog ab
Svarbūs atvejai
Vektoriaus skaliarinis kvadratas (φ = 0°):
a→ · a→ = |a→|²
Vektoriaus ilgis:
|a→| = √(a→ · a→)
Vienakrypčiai (φ = 0°): a→ · b→ = |a→| · |b→|
Priešpriešiniai (φ = 180°): a→ · b→ = −|a→| · |b→|
Priešpriešiniai (φ = 180°): a→ · b→ = −|a→| · |b→|
Pavyzdys
Lygiakraščio trikampio ABC kraštinė 9 cm. Kraštinėse atidėti vektoriai
AB→ = a→, BC→ = b→, AC→ = c→. Apskaičiuokite:
a) a→ · c→ — kampas tarp jų 60°:
a→ · c→ = 9·9·cos 60° = 81·½ = 40,5 b) a→ · b→ — vektoriai skirtinguose pradžios taškuose.
Pastumkime −b→ iš taško A (punktyras brėžinyje).
Kampas tarp a→ ir −b→ lygus 60°. a→·b→ = −(a→·(−b→)) = −9·9·cos 60° = −40,5
a) a→ · c→ — kampas tarp jų 60°:
a→ · c→ = 9·9·cos 60° = 81·½ = 40,5 b) a→ · b→ — vektoriai skirtinguose pradžios taškuose.
Pastumkime −b→ iš taško A (punktyras brėžinyje).
Kampas tarp a→ ir −b→ lygus 60°. a→·b→ = −(a→·(−b→)) = −9·9·cos 60° = −40,5
2
Vektorių statmenumo sąlygaTeorema
Jei nenuliniai vektoriai yra statmeni, tai skaliarinė jų sandauga lygi nuliui, ir atvirkščiai:
a→ ⊥ b→ ⇔ a→ · b→ = 0
Jei φ = 90°, tai cos 90° = 0, todėl sandauga lygi nuliui.
Pavyzdys
Įrodykite: jei lygiagretainio ABCD įstrižainės AC→ ir BD→
yra lygios, tai lygiagretainis yra stačiakampis.
Žymime: OB→ = b→, OA→ = a→, tada |a→| = |b→|.
AB→ · AD→ = (b→−a→)·(−a→−b→) = −(|b→|² − |a→|²) = 0 Kadangi sandauga = 0, tai AB ⊥ AD — ABCD yra stačiakampis. ∎
Žymime: OB→ = b→, OA→ = a→, tada |a→| = |b→|.
AB→ · AD→ = (b→−a→)·(−a→−b→) = −(|b→|² − |a→|²) = 0 Kadangi sandauga = 0, tai AB ⊥ AD — ABCD yra stačiakampis. ∎