5 skyrius · Tema 9
Rodiklinės nelygybės
Nelygybės, kurių nežinomasis yra laipsnio rodiklyje — sprendimo būdai.
1
Paprasčiausių rodiklinių nelygybių sprendimasSvarbu — ženklo keitimas
Lyginant laipsnių rodiklius, svarbu ar pagrindas didesnis už 1 ar mažesnis už 1 — nuo to priklauso ar nelygybės ženklas keičiasi!
Taisyklė
Kai a > 1 (didėjanti)
aˣ > aᵐ ⟺ x > m
aˣ < aᵐ ⟺ x < m
Ženklas nesikeičia
Kai 0 < a < 1 (mažėjanti)
aˣ > aᵐ ⟺ x < m
aˣ < aᵐ ⟺ x > m
Ženklas keičiasi į priešingą!
Pavyzdys — a > 1
2ˣ⁺¹ > −2
Kairiosios pusės reikšmė yra teigiama (2ˣ⁺¹ > 0), dešiniosios — neigiama.
Todėl nelygybė teisinga su visomis x reikšmėmis.
Atsakymas: x ∈ ℝ
Kairiosios pusės reikšmė yra teigiama (2ˣ⁺¹ > 0), dešiniosios — neigiama.
Todėl nelygybė teisinga su visomis x reikšmėmis.
Atsakymas: x ∈ ℝ
Pavyzdys — 0 < a < 1
(1/7)ˣ⁻ˣ² ≤ 1
1 = (1/7)⁰, todėl: (1/7)ˣ⁻ˣ² ≤ (1/7)⁰
Kadangi pagrindas 1/7 < 1 — ženklas keičiasi:
x − x² ≥ 0
x(1 − x) ≥ 0
Atsakymas: x ∈ [0; 1]
1 = (1/7)⁰, todėl: (1/7)ˣ⁻ˣ² ≤ (1/7)⁰
Kadangi pagrindas 1/7 < 1 — ženklas keičiasi:
x − x² ≥ 0
x(1 − x) ≥ 0
Atsakymas: x ∈ [0; 1]
2
Sprendimas vienodinant laipsnių pagrindusBūdo esmė
Sudėtingesnes rodiklines nelygybes pertvarkome į paprasčiausias tokiais pat būdais kaip ir rodiklines lygtis — abiejose pusėse išreiškiame vienodais pagrindais, paskui lyginame laipsnių rodiklius.
Pavyzdys
7ˣ²⁻²·⁵ˣ > 7√7
7√7 = 7¹ · 7^(1/2) = 7^(3/2)
Todėl: 7ˣ²⁻²·⁵ˣ > 7^(3/2)
Pagrindas 7 > 1, ženklas nesikeičia:
x² − 2,5x > 1,5
x² − 2,5x − 1,5 > 0
(x − 3)(x + 0,5) > 0
Atsakymas: x ∈ (−∞; −0,5) ∪ (3; +∞)
7√7 = 7¹ · 7^(1/2) = 7^(3/2)
Todėl: 7ˣ²⁻²·⁵ˣ > 7^(3/2)
Pagrindas 7 > 1, ženklas nesikeičia:
x² − 2,5x > 1,5
x² − 2,5x − 1,5 > 0
(x − 3)(x + 0,5) > 0
Atsakymas: x ∈ (−∞; −0,5) ∪ (3; +∞)
3
Sprendimas keitiniuBūdo esmė
Kaip ir lygtims — pasirenkame keitinį t = aˣ, gauname kvadratinę nelygybę, išsprendžiame ją ir grįžtame prie pradinio kintamojo.
Žingsniai
1
Suvienodiname pagrindus, pasirenkame keitinį t = aˣ (t > 0)
2
Sprendžiame gautą kvadratinę nelygybę t atžvilgiu
3
Grįžtame prie x: iš sąlygos aˣ > k arba aˣ < k randame x
4
Atkreipiame dėmesį į pagrindo dydį — ar ženklas keičiasi
Pavyzdys
2 · 9ˣ + 6ˣ − 6 · 4ˣ ≤ 0
Dalijame iš 4ˣ (4ˣ > 0):
2 · (9/4)ˣ + (6/4)ˣ − 6 ≤ 0
2 · (3/2)²ˣ + (3/2)ˣ − 6 ≤ 0
Keitinys t = (3/2)ˣ, t > 0:
2t² + t − 6 ≤ 0
(2t − 3)(t + 2) ≤ 0
t₁ = 3/2, t₂ = −2 (netinka, nes t > 0)
Todėl 0 < t ≤ 3/2:
(3/2)ˣ ≤ (3/2)¹
Pagrindas 3/2 > 1, ženklas nesikeičia:
Atsakymas: x ≤ 1
Dalijame iš 4ˣ (4ˣ > 0):
2 · (9/4)ˣ + (6/4)ˣ − 6 ≤ 0
2 · (3/2)²ˣ + (3/2)ˣ − 6 ≤ 0
Keitinys t = (3/2)ˣ, t > 0:
2t² + t − 6 ≤ 0
(2t − 3)(t + 2) ≤ 0
t₁ = 3/2, t₂ = −2 (netinka, nes t > 0)
Todėl 0 < t ≤ 3/2:
(3/2)ˣ ≤ (3/2)¹
Pagrindas 3/2 > 1, ženklas nesikeičia:
Atsakymas: x ≤ 1