5 skyrius · Tema 3
Sudėtinė ir atvirkštinė funkcija
Dviejų funkcijų sudėtis ir atvirkštinės funkcijos radimas bei savybės.
1
Sudėtinė funkcijaApibrėžimas
Jei turime dvi funkcijas y = f(u) ir u = g(x), tai į pirmosios funkcijos argumento vietą įrašę antrąją funkciją gauname sudėtinę funkciją:
y = f(g(x))
Pirmiausia taikome g argumentui x, tada gautą rezultatą paduodame į f.
y = f(g(x))
Pirmiausia taikome g argumentui x, tada gautą rezultatą paduodame į f.
x → g(x) → f(g(x)) → y
Formulė
y = f(g(x))
Žymime
f∘g — sudėtinė funkcija (skaitoma „f po g")
(f∘g)(x) = f(g(x))
Svarbu: f∘g ir g∘f paprastai yra skirtingos funkcijos
(f∘g)(x) = f(g(x))
Svarbu: f∘g ir g∘f paprastai yra skirtingos funkcijos
Pavyzdys
f(x) = x² − 1 ir g(x) = 3x + 2
f(g(x)) = f(3x + 2) = (3x + 2)² − 1 = 9x² + 12x + 4 − 1 = 9x² + 12x + 3
g(f(x)) = g(x² − 1) = 3(x² − 1) + 2 = 3x² − 3 + 2 = 3x² − 1
f(g(x)) ≠ g(f(x)) — tai skirtingos funkcijos!
f(g(x)) = f(3x + 2) = (3x + 2)² − 1 = 9x² + 12x + 4 − 1 = 9x² + 12x + 3
g(f(x)) = g(x² − 1) = 3(x² − 1) + 2 = 3x² − 3 + 2 = 3x² − 1
f(g(x)) ≠ g(f(x)) — tai skirtingos funkcijos!
2
Atvirkštinė funkcijaApibrėžimas
Atvirkštinė funkcija g — funkcija, kuri „atšaukia" funkcijos f veikimą.
Jei f(x) = y, tai atvirkštinė funkcija g(y) = x.
Nepriklausomasis ir priklausomasis kintamieji susikeičia vietomis:
x → y tampa y → x.
Jei f(x) = y, tai atvirkštinė funkcija g(y) = x.
Nepriklausomasis ir priklausomasis kintamieji susikeičia vietomis:
x → y tampa y → x.
f: x → y | f⁻¹: y → x
Žymime
f⁻¹(x) — atvirkštinė funkcija
Jei f: D → E, tai f⁻¹: E → D
D(f⁻¹) = E(f) E(f⁻¹) = D(f)
Jei f: D → E, tai f⁻¹: E → D
D(f⁻¹) = E(f) E(f⁻¹) = D(f)
Taisyklė — kaip rasti f⁻¹
1. Užrašome y = f(x)
2. Išreiškiame x per y: gauname x = g(y)
3. Sukeičiame kintamuosius vietomis: rašome y = g(x)
4. Tai ir yra atvirkštinė funkcija f⁻¹(x) = g(x)
2. Išreiškiame x per y: gauname x = g(y)
3. Sukeičiame kintamuosius vietomis: rašome y = g(x)
4. Tai ir yra atvirkštinė funkcija f⁻¹(x) = g(x)
Pavyzdys
Rasti f⁻¹, kai f(x) = 2x + 1
1. Rašome: y = 2x + 1
2. Išreiškiame x: 2x = y − 1 → x = (y − 1) / 2
3. Sukeičiame: y = (x − 1) / 2
f⁻¹(x) = (x − 1) / 2
Patikrinimas: f(f⁻¹(x)) = 2 · (x−1)/2 + 1 = x − 1 + 1 = x ✓
1. Rašome: y = 2x + 1
2. Išreiškiame x: 2x = y − 1 → x = (y − 1) / 2
3. Sukeičiame: y = (x − 1) / 2
f⁻¹(x) = (x − 1) / 2
Patikrinimas: f(f⁻¹(x)) = 2 · (x−1)/2 + 1 = x − 1 + 1 = x ✓