T4. Funkcijos grafiko transformacijos

1

y = f(x) + b (b > 0) — poslinkis aukštyn

Apibrėžimas

Funkcijos y = f(x) + b grafikas gaunamas kiekvieną pradinės funkcijos grafiko tašką perkeliant b vienetų aukštyn.

Kiekvienos grafiko taško ordinatė padidėja b vienetų. Apibrėžimo sritis nesikeičia, reikšmių sritis pakyla b vienetų aukštyn.

Grafikas kyla b vienetų aukštyn

Formulė

y = f(x) + b, kur b > 0

Taisyklė

• Apibrėžimo sritis D(f) nesikeičia
• Reikšmių sritis: prie kiekvieno intervalo galo pridedame b
• Funkcijos nuliai keičiasi

Pavyzdys

D(f) = [−3; 2], E(f) = [−2; 4]
Funkcija y = f(x) + 3:
D = [−3; 2] (nesikeičia)
E = [−2+3; 4+3] = [1; 7]

2

y = f(x) − b (b > 0) — poslinkis žemyn

Apibrėžimas

Funkcijos y = f(x) − b grafikas gaunamas kiekvieną pradinės funkcijos grafiko tašką perkeliant b vienetų žemyn.

Kiekvienos grafiko taško ordinatė sumažėja b vienetų. Apibrėžimo sritis nesikeičia, reikšmių sritis nuslenka b vienetų žemyn.

Grafikas leidžiasi b vienetų žemyn

Formulė

y = f(x) − b, kur b > 0

Taisyklė

• Apibrėžimo sritis D(f) nesikeičia
• Reikšmių sritis: iš kiekvieno intervalo galo atimame b
• Funkcijos nuliai keičiasi

Pavyzdys

D(f) = [−3; 2], E(f) = [−2; 4]
Funkcija y = f(x) − 3:
D = [−3; 2] (nesikeičia)
E = [−2−3; 4−3] = [−5; 1]

3

y = f(x ± b) (b > 0) — horizontalus poslinkis

Apibrėžimas

y = f(x − b) — grafikas stumiamas b vienetų dešinėn
y = f(x + b) — grafikas stumiamas b vienetų kairėn

Dėmesio: kryptis priešinga tam, kas parašyta formulėje! Minusas → dešinėn, pliusas → kairėn.

Mėlyna — dešinėn (−b) · Žalia — kairėn (+b)

Formulė

y = f(x − b) → dešinėn y = f(x + b) → kairėn

Taisyklė

• Reikšmių sritis E(f) nesikeičia
• Apibrėžimo sritis: f(x−b) → pridedame b prie abiejų galų; f(x+b) → atimame b
• Kryptis priešinga ženklui formulėje!

Pavyzdys

D(f) = [−2; 3], E(f) = [−2; 3]
y = f(x − 3): D = [−2+3; 3+3] = [1; 6], E = [−2; 3]
y = f(x + 3): D = [−2−3; 3−3] = [−5; 0], E = [−2; 3]

4

y = af(x) (a > 0) — tempimas vertikaliai

Apibrėžimas

Kiekvieno grafiko taško ordinatė padauginama iš a:

• Jei a > 1 — grafikas ištempiamas a kartų nuo x ašies (aukštyn ir žemyn)
• Jei 0 < a < 1 — grafikas suspaudžiamas a kartų link x ašies

Mėlyna — ištempta (a>1) · Žalia — suspaudžiama (a<1)

Formulė

y = a · f(x), kur a > 0

Taisyklė

• Apibrėžimo sritis D(f) nesikeičia
• Reikšmių sritis: kiekvienas intervalo galas dauginamas iš a
• Taškai ant x ašies (nuliai) nesikeičia

Pavyzdys

D(f) = [−4; 2], E(f) = [−2; 4]
y = 2f(x): D = [−4; 2], E = [−4; 8]
y = ½f(x): D = [−4; 2], E = [−1; 2]

5

y = f(ax) (a > 0) — tempimas horizontaliai

Apibrėžimas

Kiekvieno grafiko taško abscisė dalijama iš a:

• Jei a > 1 — grafikas suspaudžiamas a kartų link y ašies
• Jei 0 < a < 1 — grafikas ištempiamas a kartų nuo y ašies

Mėlyna — suspaudžiama (a>1) · Žalia — ištempta (a<1)

Formulė

y = f(ax), kur a > 0

Taisyklė

• Reikšmių sritis E(f) nesikeičia
• Apibrėžimo sritis: kiekvienas intervalo galas dalijamas iš a
• Taškai ant y ašies nesikeičia

Pavyzdys

D(f) = [−4; 2], E(f) = [−2; 4]
y = f(2x): D = [−2; 1], E = [−2; 4]
y = f(½x): D = [−8; 4], E = [−2; 4]

6

y = −f(x) — atspindys x ašies atžvilgiu

Apibrėžimas

Funkcijos y = −f(x) grafikas gaunamas atspindint f(x) grafiką x ašies atžvilgiu — grafikas „apverčiamas" aukštyn kojomis.

Teigiamos reikšmės tampa neigiamomis ir atvirkščiai. Taškai ant x ašies (nuliai) nesikeičia.

Atspindys x ašies atžvilgiu — „apverčiama"

Formulė

y = −f(x)

Taisyklė

• Apibrėžimo sritis D(f) nesikeičia
• Reikšmių sritis: kiekvienas galas keičia ženklą ir apsukama: E(−f) = [−max; −min]
• Funkcijos nuliai nesikeičia

Pavyzdys

D(f) = [−4; 3], E(f) = [−1; 6]
y = −f(x):
D = [−4; 3] (nesikeičia)
E = [−6; 1]

7

y = f(−x) — atspindys y ašies atžvilgiu

Apibrėžimas

Funkcijos y = f(−x) grafikas gaunamas atspindint f(x) grafiką y ašies atžvilgiu — grafikas „apsukamas" į kitą pusę.

Visi taškai, kurių abscisės teigiamos, atvaizduojami į taškus, kurių abscisės neigiamos, ir atvirkščiai.

Atspindys y ašies atžvilgiu — „apsukamas"

Formulė

y = f(−x)

Taisyklė

• Reikšmių sritis E(f) nesikeičia
• Apibrėžimo sritis: kiekvienas galas keičia ženklą ir apsukama: D(f(−x)) = [−b; −a], jei D(f) = [a; b]
• Funkcijos nuliai keičia ženklą

Pavyzdys

D(f) = [−1; 4], E(f) = [−2; 3]
y = f(−x):
D = [−4; 1] (ženklai apsukti)
E = [−2; 3] (nesikeičia)

8

y = |f(x)| — modulio transformacija

Apibrėžimas

Funkcijos y = |f(x)| grafikas gaunamas:

• Ta grafiko dalis, kuri yra virš x ašies — lieka nepakitusi
• Ta grafiko dalis, kuri yra žemiau x ašies — atspindima į viršų (aukštyn)

Pilka — f(x) · Mėlyna — |f(x)|
Neigiama dalis atspindima aukštyn

Formulė

y = |f(x)|

Taisyklė

• Apibrėžimo sritis D(f) nesikeičia
• Reikšmių sritis visada E = [0; +∞) — neigiamų reikšmių nebūna
• Funkcijos grafikas visada virš arba ant x ašies

Pavyzdys

D(f) = [−4; 3], E(f) = [−1; 6]
y = |f(x)|:
D = [−4; 3] (nesikeičia)
E = [0; 6] (neigiama dalis tampa teigiama)