5 skyrius · Tema 5
Laipsninės funkcijos
Funkcijos f(x) = xⁿ, f(x) = k/x ir f(x) = ⁿ√x — jų grafikai ir savybės.
1
f(x) = xⁿ, kai n — lyginis skaičiusApibrėžimas ir savybės
Kai n = 2m (lyginis), funkcija f(x) = xⁿ primena parabolę:
• D(f) = ℝ, E(f) = [0; +∞)
• f(x) = 0, kai x = 0; f(x) > 0 visiems kitiems x
• Mažėjanti kai x ∈ (−∞; 0), didėjanti kai x ∈ (0; +∞)
• Lyginė funkcija — simetriška y ašies atžvilgiu
• Mažiausia reikšmė f(0) = 0
• D(f) = ℝ, E(f) = [0; +∞)
• f(x) = 0, kai x = 0; f(x) > 0 visiems kitiems x
• Mažėjanti kai x ∈ (−∞; 0), didėjanti kai x ∈ (0; +∞)
• Lyginė funkcija — simetriška y ašies atžvilgiu
• Mažiausia reikšmė f(0) = 0
Mėlyna — x² (platesnė)
Violetinė — x⁴ (siauresnė)
Violetinė — x⁴ (siauresnė)
2
f(x) = xⁿ, kai n — nelyginis skaičiusApibrėžimas ir savybės
Kai n = 2m+1 (nelyginis), funkcija f(x) = xⁿ primena kubinę parabolę:
• D(f) = ℝ, E(f) = ℝ
• f(x) = 0, kai x = 0; f(x) > 0 kai x > 0; f(x) < 0 kai x < 0
• Didėjanti visoje apibrėžimo srityje
• Nelyginė funkcija — simetriška taško O atžvilgiu
• D(f) = ℝ, E(f) = ℝ
• f(x) = 0, kai x = 0; f(x) > 0 kai x > 0; f(x) < 0 kai x < 0
• Didėjanti visoje apibrėžimo srityje
• Nelyginė funkcija — simetriška taško O atžvilgiu
Mėlyna — x³ · Violetinė — x⁵
Abu didėjantys visoje ℝ
Abu didėjantys visoje ℝ
Pavyzdys — f(x) = x³
x: −2 → −1 → 0 → 1 → 2
f(x): −8 → −1 → 0 → 1 → 8
f(x): −8 → −1 → 0 → 1 → 8
3
f(x) = k/x — hiperbolėApibrėžimas ir savybės
Tai atvirkštinio proporcingumo funkcija. Jos grafikas — hiperbolė.
• D(f) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞)
• E(f) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞)
• Grafikas nekerta koordinačių ašių
• Kai k > 0: f(x) > 0 kai x > 0; f(x) < 0 kai x < 0
• Kai k < 0: atvirkščiai
• Nelyginė funkcija
• D(f) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞)
• E(f) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞)
• Grafikas nekerta koordinačių ašių
• Kai k > 0: f(x) > 0 kai x > 0; f(x) < 0 kai x < 0
• Kai k < 0: atvirkščiai
• Nelyginė funkcija
Mėlyna — k>0 · Raudona — k<0
Asimptotai: x = 0 ir y = 0
Asimptotai: x = 0 ir y = 0
Žymime
Tiesės x = 0 ir y = 0 — asimptotai — grafikas artėja prie jų, bet niekada jų nepasiekia.
4
f(x) = √x ir f(x) = ∛xf(x) = √x — savybės
• D(f) = [0; +∞), E(f) = [0; +∞)
• f(x) = 0, kai x = 0; f(x) > 0, kai x > 0
• Didėjanti kai x ∈ [0; +∞)
• Nei lyginė, nei nelyginė
• Mažiausia reikšmė f(0) = 0, didžiausios nėra
• f(x) = 0, kai x = 0; f(x) > 0, kai x > 0
• Didėjanti kai x ∈ [0; +∞)
• Nei lyginė, nei nelyginė
• Mažiausia reikšmė f(0) = 0, didžiausios nėra
Mėlyna — √x (D=[0;+∞))
Žalia — ∛x (D=ℝ)
Žalia — ∛x (D=ℝ)
f(x) = ∛x — savybės
• D(f) = ℝ, E(f) = ℝ
• f(x) = 0, kai x = 0; f(x) > 0 kai x > 0; f(x) < 0 kai x < 0
• Didėjanti visoje apibrėžimo srityje
• Nelyginė funkcija
• Atvirkštinė funkcija yra g(x) = x³
• f(x) = 0, kai x = 0; f(x) > 0 kai x > 0; f(x) < 0 kai x < 0
• Didėjanti visoje apibrėžimo srityje
• Nelyginė funkcija
• Atvirkštinė funkcija yra g(x) = x³