5 skyrius · Tema 8
Rodiklinės lygtys
Lygtys, kurių nežinomasis yra laipsnio rodiklyje — sprendimo būdai.
1
Paprasčiausių rodiklinių lygčių sprendimasApibrėžimas
Rodiklinė lygtis — lygtis, kurios nežinomasis yra laipsnio rodiklyje.
Paprasčiausia forma: aˣ = b
• Jei b ≤ 0 — lygties sprendinių nėra (nes aˣ > 0 visada)
• Jei b > 0 — lygtis turi vieną sprendinį
Paprasčiausia forma: aˣ = b
• Jei b ≤ 0 — lygties sprendinių nėra (nes aˣ > 0 visada)
• Jei b > 0 — lygtis turi vieną sprendinį
Taisyklė — jei aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾
Jei abiejose pusėse yra vienodi pagrindai:
aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾ ⟺ f(x) = g(x)
Galima tiesiog sulyginti rodiklius ir spręsti gautą lygtį.
aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾ ⟺ f(x) = g(x)
Galima tiesiog sulyginti rodiklius ir spręsti gautą lygtį.
Pavyzdys
2ˣ⁺¹ = 1
Skaičių 1 pakeičiame laipsniu 2⁰:
2ˣ⁺¹ = 2⁰
x + 1 = 0
x = −1
Skaičių 1 pakeičiame laipsniu 2⁰:
2ˣ⁺¹ = 2⁰
x + 1 = 0
x = −1
2
Sprendimas vienodinant laipsnių pagrindusSvarbu — laipsnių savybės
• aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
• aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
• (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ
• (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ
• a⁻ⁿ = 1 / aⁿ
• a⁰ = 1 (a ≠ 0)
• a^(1/n) = ⁿ√a
• a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
• (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ
Būdo esmė
Abiejose lygties pusėse esančius reiškinius užrašome vienodais laipsnių pagrindais, paskui sulyginame laipsnių rodiklius.
Žingsniai
1
Visus skaičius išreiškiame kaip laipsnius su vienodu pagrindu
2
Taikome laipsnių savybes: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
3
Gauname aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾ pavidalo lygtį, sulyginame rodiklius
4
Išsprendžiame gautą paprastą lygtį
Pavyzdys
(2/3)ˣ⁺³ · (3/2)⁻¹ = (2/3)⁹
(2/3)ˣ⁺³ · (2/3)¹ = (2/3)⁹ [nes (3/2)⁻¹ = (2/3)¹]
(2/3)ˣ⁺³⁺¹ = (2/3)⁹
x + 4 = 9
x = 5
(2/3)ˣ⁺³ · (2/3)¹ = (2/3)⁹ [nes (3/2)⁻¹ = (2/3)¹]
(2/3)ˣ⁺³⁺¹ = (2/3)⁹
x + 4 = 9
x = 5
Pavyzdys 2
7ˣ⁻¹ + 3 · 7ˣ = 154
7ˣ · 7⁻¹ + 3 · 7ˣ = 154
7ˣ(1/7 + 3) = 154
7ˣ · 22/7 = 154
7ˣ = 154 · 7/22 = 49 = 7²
x = 2
7ˣ · 7⁻¹ + 3 · 7ˣ = 154
7ˣ(1/7 + 3) = 154
7ˣ · 22/7 = 154
7ˣ = 154 · 7/22 = 49 = 7²
x = 2
3
Sprendimas skaidant daugikliaisBūdo esmė
Lygtį pertvarkome taip, kad viena pusė būtų 0, o kita — daugiklių sandauga. Sandauga lygi nuliui, kai bent vienas daugiklis lygus nuliui.
Pavyzdys
6ˣ − 3 · 2ˣ = 0
3ˣ · 2ˣ − 3 · 2ˣ = 0 [nes 6ˣ = (3·2)ˣ = 3ˣ · 2ˣ]
2ˣ(3ˣ − 3) = 0
• 2ˣ = 0 — sprendinių nėra (2ˣ > 0 visada)
• 3ˣ − 3 = 0 → 3ˣ = 3¹ → x = 1
3ˣ · 2ˣ − 3 · 2ˣ = 0 [nes 6ˣ = (3·2)ˣ = 3ˣ · 2ˣ]
2ˣ(3ˣ − 3) = 0
• 2ˣ = 0 — sprendinių nėra (2ˣ > 0 visada)
• 3ˣ − 3 = 0 → 3ˣ = 3¹ → x = 1
4
Sprendimas keitiniuBūdo esmė
Kai lygtis sudėtingesnė, pasirenkame keitinį t = aˣ ir gauname tiesinę arba kvadratinę lygtį. Išsprendžiame ją ir grįžtame prie pradinio kintamojo.
Žingsniai
1
Suvienodiname laipsnių pagrindus ir pasirenkame keitinį t = aˣ
2
Išsprendžiame gautą tiesinę arba kvadratinę lygtį t atžvilgiu
3
Grįžtame prie pradinio kintamojo: iš t = aˣ randame x
4
Atmename t ≤ 0 sprendinius (nes aˣ > 0 visada)
Pavyzdys
¼ · 16ˣ − 2,5 · 4ˣ + 4 = 0
¼ · (4²)ˣ − 2,5 · 4ˣ + 4 = 0
¼ · (4ˣ)² − 2,5 · 4ˣ + 4 = 0
Keitinys t = 4ˣ (t > 0):
¼t² − 2,5t + 4 = 0 |· 4
t² − 10t + 16 = 0
t₁ = 8, t₂ = 2
• 4ˣ = 8 = 4^(3/2) → x = 3/2
• 4ˣ = 2 = 4^(1/2) → x = 1/2
¼ · (4²)ˣ − 2,5 · 4ˣ + 4 = 0
¼ · (4ˣ)² − 2,5 · 4ˣ + 4 = 0
Keitinys t = 4ˣ (t > 0):
¼t² − 2,5t + 4 = 0 |· 4
t² − 10t + 16 = 0
t₁ = 8, t₂ = 2
• 4ˣ = 8 = 4^(3/2) → x = 3/2
• 4ˣ = 2 = 4^(1/2) → x = 1/2