9 skyrius · Tema 2
sin, cos, tg apibrėžtys
Vienetinis apskritimas — pagrindinis įrankis. cos = x koordinatė, sin = y koordinatė. Viskas kyla iš šios paprastos taisyklės.
1
Vienetinis apskritimasApibrėžimas
Vienetinis apskritimas — apskritimas, kurio centras koordinačių pradžioje O(0; 0), o spindulys R = 1.
Kiekvienam posūkio kampui α atitinka taškas A(xₐ; yₐ) ant vienetinio apskritimo — tai taškas, į kurį patenka spindulys OA, pasuktas kampu α.
Kiekvienam posūkio kampui α atitinka taškas A(xₐ; yₐ) ant vienetinio apskritimo — tai taškas, į kurį patenka spindulys OA, pasuktas kampu α.
Taškas A(xₐ; yₐ) ant vienetinio apskritimo
Svarbiausia taisyklė
Taškas A(xₐ; yₐ) atitinka posūkio kampą α. Tada:
cos α = xₐ sin α = yₐ
cos — tai x koordinatė taško ant vienetinio apskritimo.
sin — tai y koordinatė taško ant vienetinio apskritimo.
Viskas kyla iš šios paprastos taisyklės — nereikia nieko daugiau įsiminti!
cos α = xₐ sin α = yₐ
cos — tai x koordinatė taško ant vienetinio apskritimo.
sin — tai y koordinatė taško ant vienetinio apskritimo.
Viskas kyla iš šios paprastos taisyklės — nereikia nieko daugiau įsiminti!
cos α = x koordinatė · sin α = y koordinatė
2
Tangento apibrėžtisFormulė
tg α = sin α / cos α (kai cos α ≠ 0)
ctg α = cos α / sin α (kai sin α ≠ 0)
Svarbu
tg α neegzistuoja, kai cos α = 0 (dalyba iš nulio negalima), t. y. kai α = π/2 + πk (tema apie cos x), k ∈ ℤ (90°, 270°, ...)
tg 0° = 0, nes sin 0° = 0, cos 0° = 1
tg 90° — neegzistuoja, nes cos 90° = 0
tg 0° = 0, nes sin 0° = 0, cos 0° = 1
tg 90° — neegzistuoja, nes cos 90° = 0
3
Ženklai kiekviename ketvirtyjeTaisyklė — iš koordinačių logikos
Viename ketvirtyje x ir y koordinatės turi pastovius ženklus.
Kadangi cos = x ir sin = y, ženklai tiesiai iš koordinačių:
I ketvirtis: x > 0, y > 0 → cos +, sin +, tg +
II ketvirtis: x < 0, y > 0 → cos −, sin +, tg −
III ketvirtis: x < 0, y < 0 → cos −, sin −, tg +
IV ketvirtis: x > 0, y < 0 → cos +, sin −, tg −
Kadangi cos = x ir sin = y, ženklai tiesiai iš koordinačių:
I ketvirtis: x > 0, y > 0 → cos +, sin +, tg +
II ketvirtis: x < 0, y > 0 → cos −, sin +, tg −
III ketvirtis: x < 0, y < 0 → cos −, sin −, tg +
IV ketvirtis: x > 0, y < 0 → cos +, sin −, tg −
Ženklai — tiesiai iš x, y koordinačių
Pavyzdys — reikšmės iš apskritimo
0° kampas: taškas A(1; 0) → cos 0° = 1, sin 0° = 0, tg 0° = 0
90° kampas: taškas A(0; 1) → cos 90° = 0, sin 90° = 1, tg 90° — neegzistuoja
180° kampas: taškas A(−1; 0) → cos 180° = −1, sin 180° = 0, tg 180° = 0
270° kampas: taškas A(0; −1) → cos 270° = 0, sin 270° = −1, tg 270° — neegzistuoja
210° kampas (III ketvirtis):
Taškas M(−√3/2; −1/2) → cos 210° = −√3/2, sin 210° = −1/2
tg 210° = (−1/2)/(−√3/2) = 1/√3 = √3/3
90° kampas: taškas A(0; 1) → cos 90° = 0, sin 90° = 1, tg 90° — neegzistuoja
180° kampas: taškas A(−1; 0) → cos 180° = −1, sin 180° = 0, tg 180° = 0
270° kampas: taškas A(0; −1) → cos 270° = 0, sin 270° = −1, tg 270° — neegzistuoja
210° kampas (III ketvirtis):
Taškas M(−√3/2; −1/2) → cos 210° = −√3/2, sin 210° = −1/2
tg 210° = (−1/2)/(−√3/2) = 1/√3 = √3/3
4
Pagrindinė trigonometrinė tapatybėFormulė
Kadangi taškas A(cos α; sin α) yra ant vienetinio apskritimo (R = 1), tai pagal Pitagoro teoremą:
sin²α + cos²α = 1 Ši tapatybė galioja visiems kampams α.
sin²α + cos²α = 1 Ši tapatybė galioja visiems kampams α.
Pitagoro teorema vienetiniame apskritime
Iš tapatybės išplaukia
sin²α = 1 − cos²α → |sin α| = √(1 − cos²α)
cos²α = 1 − sin²α → |cos α| = √(1 − sin²α)
Ženklas priklauso nuo ketvirčio (cos arba sin gali būti + arba −).
cos²α = 1 − sin²α → |cos α| = √(1 − sin²α)
Ženklas priklauso nuo ketvirčio (cos arba sin gali būti + arba −).
Pavyzdys
Žinome: sin α = 3/5, α ∈ I ketvirtis. Raskite cos α.
cos²α = 1 − sin²α = 1 − 9/25 = 16/25
I ketvirtyje cos > 0, todėl cos α = 4/5
Žinome: cos α = −√3/2. Raskite sin²α.
sin²α = 1 − cos²α = 1 − 3/4 = 1/4
cos²α = 1 − sin²α = 1 − 9/25 = 16/25
I ketvirtyje cos > 0, todėl cos α = 4/5
Žinome: cos α = −√3/2. Raskite sin²α.
sin²α = 1 − cos²α = 1 − 3/4 = 1/4