9 skyrius · Tema 3
Funkcija f(x) = sin x ir arcsin x
Sinuso funkcijos savybės, grafikas, lygtys sin x = a, nelygybės ir atvirkštinė funkcija arcsin x.
1
Funkcijos f(x) = sin x savybėsSavybės
D(f) = ℝ — apibrėžimo sritis visi realieji skaičiai
E(f) = [−1; 1] — reikšmių sritis
T = 2π — mažiausias periodas
Nelyginė funkcija: sin(−x) = −sin x
Nuliai: sin x = 0, kai x = πk, k ∈ ℤ
Didžiausia reikšmė 1 — taške x = π/2 + 2πk
Mažiausia reikšmė −1 — taške x = −π/2 + 2πk
E(f) = [−1; 1] — reikšmių sritis
T = 2π — mažiausias periodas
Nelyginė funkcija: sin(−x) = −sin x
Nuliai: sin x = 0, kai x = πk, k ∈ ℤ
Didžiausia reikšmė 1 — taške x = π/2 + 2πk
Mažiausia reikšmė −1 — taške x = −π/2 + 2πk
Sinusoidė — periodas 2π, reikšmės [−1; 1]
Didėjimo ir mažėjimo intervalai
Didėja: x ∈ (−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk), k ∈ ℤ
Mažėja: x ∈ (π/2 + 2πk; 3π/2 + 2πk), k ∈ ℤ
Teigiamas: sin x > 0, kai x ∈ (2πk; π + 2πk), k ∈ ℤ
Neigiamas: sin x < 0, kai x ∈ (π + 2πk; 2π + 2πk), k ∈ ℤ
Mažėja: x ∈ (π/2 + 2πk; 3π/2 + 2πk), k ∈ ℤ
Teigiamas: sin x > 0, kai x ∈ (2πk; π + 2πk), k ∈ ℤ
Neigiamas: sin x < 0, kai x ∈ (π + 2πk; 2π + 2πk), k ∈ ℤ
2
Lygties sin x = a sprendimasSprendinių formulės
Kai |a| ≤ 1, lygtis sin x = a turi sprendinių:
x = (−1)ᵏ arcsin a + πk, k ∈ ℤ
Kai |a| > 1 — lygtis neturi realių sprendinių.
Kai a = 1: x = π/2 + 2πk
Kai a = −1: x = −π/2 + 2πk
Kai a = 0: x = πk
x = (−1)ᵏ arcsin a + πk, k ∈ ℤ
Kai |a| > 1 — lygtis neturi realių sprendinių.
Kai a = 1: x = π/2 + 2πk
Kai a = −1: x = −π/2 + 2πk
Kai a = 0: x = πk
sin x = a — du sprendiniai periode
Pavyzdys
2 sin x = −1
sin x = −1/2
x = (−1)ᵏ arcsin(−1/2) + πk = (−1)ᵏ · (−π/6) + πk
x = (−1)ᵏ⁺¹ · π/6 + πk, k ∈ ℤ
sin(2x) = 1
2x = π/2 + 2πk → x = π/4 + πk, k ∈ ℤ
sin x = −1/2
x = (−1)ᵏ arcsin(−1/2) + πk = (−1)ᵏ · (−π/6) + πk
x = (−1)ᵏ⁺¹ · π/6 + πk, k ∈ ℤ
sin(2x) = 1
2x = π/2 + 2πk → x = π/4 + πk, k ∈ ℤ
3
Nelygybių sin x > a sprendimasTaisyklė
sin x > a (kai |a| < 1):
Intervalai, kuriuose sinusoidė virš tiesės y = a.
Sprendiniai: x ∈ (arcsin a + 2πk; π − arcsin a + 2πk), k ∈ ℤ
sin x < a (kai |a| < 1):
Intervalai, kuriuose sinusoidė žemiau tiesės y = a.
Sprendiniai: x ∈ (π − arcsin a + 2πk; arcsin a + 2π(k+1)), k ∈ ℤ
Intervalai, kuriuose sinusoidė virš tiesės y = a.
Sprendiniai: x ∈ (arcsin a + 2πk; π − arcsin a + 2πk), k ∈ ℤ
sin x < a (kai |a| < 1):
Intervalai, kuriuose sinusoidė žemiau tiesės y = a.
Sprendiniai: x ∈ (π − arcsin a + 2πk; arcsin a + 2π(k+1)), k ∈ ℤ
Žalia — sin x > a intervalai
Pavyzdys
sin x > √3/2
1. Nubrėžiame sinusoidę ir tiesę y = √3/2
2. arcsin(√3/2) = π/3
3. Sprendiniai (kur kreivė virš tiesės):
x ∈ (π/3 + 2πk; 2π/3 + 2πk), k ∈ ℤ
sin x ≤ √3/2
x ∈ [2π/3 + 2πk; π/3 + 2π(k+1)], k ∈ ℤ
1. Nubrėžiame sinusoidę ir tiesę y = √3/2
2. arcsin(√3/2) = π/3
3. Sprendiniai (kur kreivė virš tiesės):
x ∈ (π/3 + 2πk; 2π/3 + 2πk), k ∈ ℤ
sin x ≤ √3/2
x ∈ [2π/3 + 2πk; π/3 + 2π(k+1)], k ∈ ℤ
Grafikas: sin x > √3/2 → intervalas (π/3; 2π/3)
4
Atvirkštinė funkcija g(x) = arcsin xApibrėžimas
arcsin x — tai atvirkštinė funkcija f(x) = sin x.
Funkcija f(x) = sin x apibrėžimo srityje [−π/2; π/2] yra didėjanti ir vienareikšmė — todėl ji turi atvirkštinę funkciją.
Atvirkštinei funkcijai D ir E apsikeičia vietomis:
sin x: D = [−π/2; π/2], E = [−1; 1]
arcsin x: D = [−1; 1], E = [−π/2; π/2]
arcsin x = y ⟺ sin y = x, y ∈ [−π/2; π/2]
Nelyginė funkcija: arcsin(−x) = −arcsin x
Funkcija f(x) = sin x apibrėžimo srityje [−π/2; π/2] yra didėjanti ir vienareikšmė — todėl ji turi atvirkštinę funkciją.
Atvirkštinei funkcijai D ir E apsikeičia vietomis:
sin x: D = [−π/2; π/2], E = [−1; 1]
arcsin x: D = [−1; 1], E = [−π/2; π/2]
arcsin x = y ⟺ sin y = x, y ∈ [−π/2; π/2]
Nelyginė funkcija: arcsin(−x) = −arcsin x
arcsin x — raudonas · sin x — pilkas
Svarbu
arcsin(sin x) = x tik kai x ∈ [−π/2; π/2]
sin(arcsin x) = x, kai x ∈ [−1; 1]
arcsin(−x) = −arcsin x
sin(arcsin x) = x, kai x ∈ [−1; 1]
arcsin(−x) = −arcsin x
Pavyzdys
arcsin(√3/2): sin(π/3) = √3/2 ir π/3 ∈ [−π/2; π/2] → arcsin(√3/2) = π/3
arcsin(−1/2): arcsin(−1/2) = −arcsin(1/2) = −π/6
Funkcija g(x) = 2arcsin(3x) apibrėžimo sritis:
−1 ≤ 3x ≤ 1 → −1/3 ≤ x ≤ 1/3 → D(g) = [−1/3; 1/3]
arcsin(−1/2): arcsin(−1/2) = −arcsin(1/2) = −π/6
Funkcija g(x) = 2arcsin(3x) apibrėžimo sritis:
−1 ≤ 3x ≤ 1 → −1/3 ≤ x ≤ 1/3 → D(g) = [−1/3; 1/3]